扩张次数与塔式定理

形式陈述 ​

若 $E/F$ 是域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。，把 $E$ 看成 $F$-向量空间，扩张次数定义为

$$[E:F]={\dim }_{F}E.$$

次数有限时称为有限扩张。若 $F\subseteq K\subseteq E$，且 $[E:K]$ 与 $[K:F]$ 有限，则塔式定理断言

$$[E:F]=[E:K][K:F].$$

证明直接来自两层坐标。取 $E/K$ 的基 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 和 $K/F$ 的基 $\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\}$，则 $\{{\alpha }_i{\beta }_j:1\le i\le m,1\le j\le n\}$ 张成 $E/F$。若 $\sum _{i,j}{c}_{ij}{\alpha }_i{\beta }_j=0$（$c_{ij}\in F$），先按 ${\alpha }_i$ 的 $K$-线性无关性得 $\sum _j{c}_{ij}{\beta }_j=0$，再按 ${\beta }_j$ 的 $F$-线性无关性得全部 $c_{ij}=0$，故这 $mn$ 个乘积正是一组基。

若 $\alpha$ 在 $F$ 上代数，且最小多项式为 $m_{\alpha }(x)$，则简单扩张满足 $[F(\alpha ):F]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$，基可取 $1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^{d-1}$。

直觉 ​

扩张次数是用底域标量描述扩域元素所需的独立坐标数。经过中间域 $K$ 时，可以先用 $m$ 个 $K$-坐标描述 $E$ 中元素，再把每个 $K$-坐标展开成 $n$ 个 $F$-坐标，于是总自由度乘成 $mn$。塔式定理不是神秘的域运算公式，而是向量空间“坐标中的坐标”。

例子与边界 ​

在塔 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 中，第一层次数为 $2$。若 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$（$a,b\in \mathbb{Q}$），平方并比较有理部分与 $\sqrt{2}$ 部分会推出矛盾，因此 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$；它在中间域上的最小多项式仍为 $x^2-3$，第二层次数也为 $2$。塔式定理给总次数 $4$，一组 $\mathbb{Q}$-基为 $1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$。

元素次数与扩张次数不能无条件等同。$[E:F]$ 描述整个域，而 $\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$ 只描述 $F(\alpha )$；只有 $E=F(\alpha )$ 时二者直接相等。例如 $\alpha =\sqrt{2}$ 在 $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 中仍只有次数 $2$，但 $[E:\mathbb{Q}]=4$。无限维情形可用基数乘法讨论维数，但本页的整数次数公式及后续有限 Galois 结论默认各层有限。

推论与应用 ​

塔式定理立即给出整除关系：有限塔中 $[K:F]$ 与 $[E:K]$ 都整除 $[E:F]$，常可据此排除某个中间域或元素的存在。它把最小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。次数、分裂域构造与有限扩张的规模统一起来，并为有限Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。的阶等于扩张次数、Galois 对应中的指数公式提供维数基础。若扩张次数为素数，则不存在严格夹在两端之间的有限中间域。

参考资料

• The Stacks Project, Fields, sections on degrees of field extensions and the tower formula.
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, Ch. 13, field extensions and degrees.