形式陈述

对域扩张 $E/F$$E/F$，Galois 群定义为

$$ \operatorname{Gal}(E/F)=\{\sigma:E\to E:\sigma\text{ 为域自同构且 }\sigma|_F=\mathrm{id}_F\}, $$$$\mathrm{Gal}(E/F)=\{\sigma :E\to E:\sigma \text{ 为域自同构且 }\sigma {|}_F={\mathrm{id}}_F\},$$

运算为函数复合。每个 $F$$F$-自同构保持所有 $F$$F$-系数多项式关系，因此把某个多项式的根送到同一多项式的某个根（可能仍为自身）。若 $E$$E$ 是 $F$$F$ 上可分多项式的分裂域，则 $E/F$$E/F$ 是有限 Galois 扩张，群对根集忠实作用且

$$ |\operatorname{Gal}(E/F)|=[E:F]. $$$$|\mathrm{Gal}(E/F)|=[E:F].$$

一般有限扩张只有 $|\operatorname{Gal}(E/F)|\le[E:F]$$|\mathrm{Gal}(E/F)|\le [E:F]$；等号刻画正规且可分的情形。

直觉

Galois 群记录扩域中哪些元素可以在不改变基域算术的前提下互换；这些允许的重命名正是多项式根之间的对称性。

例子与边界

$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群有两个元素：恒等与 $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$$\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$。$\mathbb C/\mathbb R$$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 的群由恒等和复共轭组成。$\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是分裂域，唯一实根必须固定，因而其 Galois 群平凡，尽管扩张次数为 $3$$3$；这说明群阶不总等于次数。有限域 $\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p$${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$ 的 Galois 群由 Frobenius $x\mapsto x^p$$x\mapsto x^p$ 生成，是阶 $n$$n$ 的循环群。自同构必须逐点固定 $F$$F$，仅把 $F$$F$ 映到自身还不够。

推论与应用

Galois 群把域扩张问题转成有限群问题，控制中间域、根式可解性、有限域子域以及多项式因式分解的对称结构。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 14, automorphism groups of splitting fields。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 14, Galois extensions and automorphisms。