伽罗瓦群

Galois 群收集保持基域不动的域自同构；这些允许的重命名只能重新排列满足相同基域多项式关系的根。它测量的不是根的数值位置，而是基域能够分辨哪些根、又必须把哪些根视为对称。扩张包含的信息越多，允许的对称通常越少。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群有两个元素：恒等与 $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$。$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 的群由恒等和复共轭组成。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张，唯一实根必须固定，因而其 Galois 群平凡，尽管扩张次数公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。为 $3$；这说明群阶不总等于次数。有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$ 的 Galois 群由 Frobenius $x\mapsto x^p$ 生成，是阶 $n$ 的循环群。自同构必须逐点固定 $F$，仅把 $F$ 映到自身还不够。

令 $E$ 为 $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域，则

三个根可被自同构置换，且 $[E:\mathbb{Q}]=6$，其 Galois 群同构于 $S_3$。若把基域扩大为 $\mathbb{Q}({\zeta }_3)$，复共轭不再逐点固定基域，剩余群降为由 $\sqrt[3]{2}\mapsto {\zeta }_3\sqrt[3]{2}$ 生成的 $C_3$。这说明 Galois 群不仅取决于顶层域，还取决于必须固定的基域。

Galois 群把域扩张问题转成群问题，控制中间域、根式可解性、有限域子域以及多项式因式分解的对称结构。Galois 理论基本定理公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与伽罗瓦群子群之间存在反序对应。把有限情形中的子群与中间域反向对应，正规子群对应基域上的 Galois 中间扩张。该语言把多项式可解性、有限域 Frobenius、自同构计数和尺规作图统一为群结构公理库群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。问题。