伽罗瓦群

Galois 群描述保持代数关系的根的重排。例如 $\sqrt{2}$ 与 $-\sqrt{2}$ 满足同一个有理系数最小多项式，交换它们仍能保持域中的加法和乘法。每个自同构都把整套运算关系一起带过去。

固定顶层域 $E$ 后，扩大基域意味着要求更多元素保持不动。若 $F\subseteq K\subseteq E$，就有 $\mathrm{Gal}(E/K)\le \mathrm{Gal}(E/F)$。因此基域的选择直接决定哪些对称仍被允许。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群有两个元素：恒等映射，以及

第二个映射复合两次回到恒等，故群同构于 $C_2$。$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 也有同样的群结构，非恒等元素是复共轭。

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 只包含 $x^3-2$ 的一个根，因为该域中的元素全为实数。任何 $\mathbb{Q}$-自同构都必须固定这个根，进而固定整个域。因此其 Galois 群平凡，而扩张次数理路扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。为 $3$。缺失的两个非实共轭根使自同构数目小于次数。

令 $E$ 为 $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域，则

这是特征零的分裂域，故为 Galois 扩张，且 $[E:\mathbb{Q}]=6$。其群忠实作用在三个根上，从而嵌入 $S_3$；两群都有六个元素，故同构。若把基域扩大为 $\mathbb{Q}({\zeta }_3)$，复共轭便不再固定基域，剩余群为由 $\sqrt[3]{2}\mapsto {\zeta }_3\sqrt[3]{2}$ 生成的 $C_3$。

有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$ 的 Galois 群由 Frobenius $\sigma (x)=x^p$ 生成。${\sigma }^n=\mathrm{id}$；若 $0<d<n$ 且 ${\sigma }^d=\mathrm{id}$，则全部 $p^n$ 个元素都将成为 $x^{p^d}-x$ 的根，超过多项式次数。因此 $\sigma$ 的阶恰为 $n$，Galois 群是阶 $n$ 的循环群。

Galois 理论基本定理理路伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。把有限 Galois 扩张的中间域转成群理路群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。的子群。对上面的 $S_3$ 扩张，阶为 $2$ 的子群固定一个三次中间域；阶为 $3$ 的子群固定二次域 $\mathbb{Q}({\zeta }_3)$。求中间域因而可以从列出子群及其不动元素入手。

更完整的计算见基本定理中的四次根分裂域例子理路伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。：先用 $a=\sqrt[4]{2}$ 与 $i$ 的像确定八阶群 $D_4$，再列出十个子群、认证全部十个不动域，并说明五个四次中间域中为什么只有一个对 $\mathbb{Q}$ 正规。

素数算术让 Galois 群还有另一种可计算作用：分解群与惯性群理路分解群与惯性群Decomposition group · Inertia groupGalois 群在素理想上的稳定子给出分解群，剩余域作用的核给出惯性群，并在一个二次域中算出三种情形。分别稳定上方素理想、固定其剩余域，群阶读出 $e$ 与 $f$。分圆域理路分圆域Cyclotomic field单位根生成的数域具有显式的 Galois 群与整数环；在五次分圆域中计算分歧、惰性和完全分裂。则把整个 Galois 群显式识别为模 $n$ 的单位群，使单位根的幂次与素数分解直接相连。