代数元

代数元受基域系数的有限多项式关系约束；超越元则像一个真正独立的变量，没有任何这样的有限方程把它锁住。把扩域中的元素 $\alpha$ 代入多项式，相当于考察从 $F[x]$ 到扩域的求值同态。若某个非零多项式落入核，$\alpha$ 的所有幂便不再独立，而会被一条有限递推约束；这正是“代数”的含义。没有这种关系时，$1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots$ 在 $F$ 上线性无关，$\alpha$ 的行为与形式变量无异。

$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数，因为它满足 $x^2-2=0$；$i$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足 $x^2+1=0$，也属于代数元。形式变量 $t$ 在有理函数域 $F(t)$ 中对 $F$ 超越，$\pi ,e$ 在 $\mathbb{Q}$ 上也都是超越元。

基域决定了方程允许使用哪些系数。虽然 $\pi$ 在 $\mathbb{Q}$ 上超越，在 $\mathbb{Q}(\pi )$ 上却满足 $x-\pi =0$：加入 $\pi$ 后，这个一次多项式的系数已经合法。

代数闭包理路代数闭包Algebraic closure在不加入超越元素的前提下，使基域上的所有代数方程都能获得全部根的扩域。 $\bar{\mathbb{Q}}$ 中的每个元素都在 $\mathbb{Q}$ 上代数，但整个扩张的次数无限。这里每个元素各自满足一条有限次数方程，并没有一组有限基能同时容纳所有代数数。

令

由 ${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$ 可得

即

而 ${\alpha }^{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，所以 $\alpha +{\alpha }^{-1}=2\sqrt{3}$、$\alpha -{\alpha }^{-1}=2\sqrt{2}$；因此 $\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，扩张次数为 $4$，上述四次多项式正是极小多项式。这个例子展示了“满足某个方程”与“找到最小关系”的差别：先消去根式得到候选多项式，再用生成域次数确认它不能继续降阶。

代数元满足的最小次数关系由极小多项式记录。若其次数为 $d$，更高次的幂都可约成 $1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^{d-1}$ 的线性组合；这组幂构成 $F(\alpha )$ 的一组基，把多项式次数转成了扩张维数。连续加入多个代数元时，可以用扩张次数公式理路扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。逐层计算。

固定基域 $F$ 的域嵌入保持多项式的系数，会把 $\alpha$ 送到其极小多项式的一个根；这些根称为 $\alpha$ 在 $F$ 上的共轭。考察同一扩域中固定 $F$ 的自同构怎样交换这些根，就进入Galois 群理路伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。的研究。对于有限可分扩张 $F(\alpha )/F$，$\alpha$ 的范数与迹分别是这些共轭的乘积与和。数域范数理路数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。从乘法算子的行列式解释这个乘积，并说明在更大的数域 $K$ 中需要按 $[K:\mathbb{Q}(\alpha )]$ 重复计数。若进一步要求满足首一整数系数方程，就得到代数整数理路代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。；有理数 $1/2$ 说明代数性与这种整性不同。