形式陈述

设 $E/F$$E/F$ 为域扩张。元素 $\alpha\in E$$\alpha \in E$ 称为在 $F$$F$ 上代数的，若存在非零多项式 $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ 使 $f(\alpha)=0$$f(\alpha )=0$；否则称为超越元。所有在 $F$$F$ 上代数的元素在任一共同扩域中对加、减、乘、除（除数非零）封闭，构成一个域。单生成扩张 $F(\alpha)/F$$F(\alpha )/F$ 有限当且仅当 $\alpha$$\alpha$ 代数；此时 $F[\alpha]=F(\alpha)$$F[\alpha ]=F(\alpha )$。若 $E/F$$E/F$ 中每个元素都代数，则称代数扩张；有限扩张必代数，代数扩张不必有限。

直觉

代数元受基域系数的有限多项式关系约束；超越元则像一个真正独立的变量，没有任何这样的有限方程把它锁住。

例子与边界

$\sqrt2$$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上代数，因为满足 $x^2-2=0$$x^2-2=0$；$i$$i$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上代数。$\pi,e$$\pi ,e$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上超越，但证明这一事实远比定义困难。形式变量 $t$$t$ 在有理函数域 $F(t)$$F(t)$ 中对 $F$$F$ 超越。元素是否代数依赖基域：$\pi$$\pi$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上超越，却在包含 $\pi$$\pi$ 的域 $\mathbb Q(\pi)$$\mathbb{Q}(\pi )$ 上满足 $x-\pi=0$$x-\pi =0$。无限代数扩张如代数闭包 $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$$\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 通常次数无限。存在某个零多项式并无信息，因此定义必须要求 $f\ne0$$f\ne 0$。

推论与应用

代数元导向极小多项式、共轭和有限扩张；代数/超越二分是研究函数域、代数闭包和维数理论的起点。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 13, algebraic and transcendental elements。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 13, simple extensions and algebraicity。