代数元

代数元受基域系数的有限多项式关系约束；超越元则像一个真正独立的变量，没有任何这样的有限方程把它锁住。把扩域中的元素 $\alpha$ 代入多项式，相当于考察从 $F[x]$ 到扩域的求值同态。若某个非零多项式落入核，$\alpha$ 的所有幂便不再独立，而会被一条有限递推约束；这正是“代数”的含义。没有这种关系时，$1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots$ 在 $F$ 上线性无关，$\alpha$ 的行为与形式变量无异。

$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数，因为满足 $x^2-2=0$；$i$ 在 $\mathbb{R}$ 上代数。$\pi ,e$ 在 $\mathbb{Q}$ 上超越，但证明这一事实远比定义困难。形式变量 $t$ 在有理函数域 $F(t)$ 中对 $F$ 超越。元素是否代数依赖基域：$\pi$ 在 $\mathbb{Q}$ 上超越，却在包含 $\pi$ 的域 $\mathbb{Q}(\pi )$ 上满足 $x-\pi =0$。无限代数扩张如代数闭包公理库代数闭包Algebraic closure · 代数闭域在不加入超越元素的前提下，使基域上的所有代数方程都能获得全部根的扩域。 $\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 通常次数无限。存在某个零多项式并无信息，因此定义必须要求 $f\ne 0$。

令

由 ${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$ 可得

即

而 ${\alpha }^{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，所以 $\alpha +{\alpha }^{-1}=2\sqrt{3}$、$\alpha -{\alpha }^{-1}=2\sqrt{2}$；因此 $\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，扩张次数为 $4$，上述四次多项式正是极小多项式。这个例子展示了“满足某个方程”与“找到最小关系”的差别：先消去根式得到候选多项式，再用生成域次数确认它不能继续降阶。

代数元导向极小多项式、共轭和有限扩张；代数/超越二分是研究函数域、代数闭包和维数理论的起点。代数元生成的单扩张为有限维，其精确维数见扩张次数公式公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。；反之，任何有限扩张中的元素都代数。这个桥梁把域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。的线性代数与多项式环公理库多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。的因式分解连接起来，并进一步导向共轭、范数、迹和Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。。