代数闭包

形式陈述 ​

域 $K$ 称为代数闭域，若每个非常数多项式 $f\in K[x]$ 都在 $K$ 中有根；在域上这等价于每个非常数多项式都能分解为一次因子的乘积。域 $F$ 的代数闭包是一个扩域 $\bar{F}/F$，同时满足：$\bar{F}$ 在 $F$ 上是代数扩张，即每个 $\alpha \in \bar{F}$ 都是 $F$ 上的代数元公理库代数元Algebraic element作为基域上某个非零多项式根的扩域元素。；$\bar{F}$ 自身是代数闭域。

每个域都有代数闭包。任意两个代数闭包 ${\bar{F}}_1,{\bar{F}}_2$ 之间存在保持 $F$ 不动的域同构，因此它们在 $F$-同构意义下唯一；该同构一般不唯一。若事先把它们作为某个共同超域中的具体子域，也不能仅凭定义宣称两个集合字面相等。存在性与延拓同构的标准证明使用Zorn 引理公理库佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。。

直觉 ​

代数闭包把所有代数方程缺失的根一次补齐，并继续补齐加入这些根后出现的新代数方程，但始终不跨过“满足某个基域多项式”这条边界。它是一座封闭的代数根宇宙，不是把任意新数都收进来；具体怎么命名和安放各个根可以不同，映射关系才是唯一性真正保留的内容。

例子与边界 ​

$\mathbb{C}$ 是 $\mathbb{R}$ 的代数闭包。代数基本定理说明 $\mathbb{C}$ 代数闭，而每个 $z=a+bi\in \mathbb{C}$ 都满足 $(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2ax+(a^2+b^2)\in \mathbb{R}[x]$，所以 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是代数扩张。

相反，$\mathbb{C}$ 不是 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包。所有有理系数多项式的集合可数，每个多项式只有有限多个根，因此 $\bar{\mathbb{Q}}$ 可数；$\mathbb{C}$ 不可数，并含 $\pi ,e$ 等超越于 $\mathbb{Q}$ 的元素。$\mathbb{C}$ 虽然代数闭，却没有满足“在 $\mathbb{Q}$ 上代数”这一关键条件。代数闭域与某个域的代数闭包由此必须区分。

推论与应用 ​

在固定代数闭包中，可以同时谈最小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。的全部共轭根、构造分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。并比较不同嵌入；正规性公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。与可分性公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。的根式判据也都以此为共同环境。有限域的代数闭包是所有有限扩张的递增并，而迹、范数和 Galois 群则通过代数闭包中的嵌入统一定义。

参考资料

• The Stacks Project, Fields, section “Algebraic closure,” existence and uniqueness up to base-field isomorphism.
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002, Ch. V, algebraic closures and extension of embeddings.