代数闭包

可以从基域出发，逐步补齐多项式的根。新加入的根又能作为系数，形成新的方程，于是继续添根。代数性的传递性保证，这些步骤得到的元素始终满足某个基域上的多项式。代数闭包把整个过程容纳在一个域中：其中的每个非常数多项式都已有全部根。

$\mathbb{C}$ 是 $\mathbb{R}$ 的代数闭包。代数基本定理说明 $\mathbb{C}$ 代数闭，而每个 $z=a+bi\in \mathbb{C}$ 都满足 $(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2ax+(a^2+b^2)\in \mathbb{R}[x]$，所以 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是代数扩张。恒等映射与复共轭是两个不同的 $\mathbb{R}$-同构，展示了同一闭包可以有不同的对称。

$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{C}$ 中的代数闭包由全部代数数组成。有理系数多项式的集合可数，每个非零多项式只有有限多个根，所以这些代数数也构成可数集。它小于不可数的 $\mathbb{C}$；例如 $\pi$ 就不在其中。

若两个 $F$ 的代数闭包已经是同一个超域中的子域，并且包含同一份 $F$，它们实际上相等。取 $\alpha \in {\bar{F}}_1$，它的最小多项式在 ${\bar{F}}_2$ 中完全分裂；在共同超域中，$\alpha$ 必等于这些根中的一个，故属于 ${\bar{F}}_2$。交换两者便得反向包含。这里固定共同超域，使“同构类型唯一”进一步成为具体子域的唯一性。

固定代数闭包后，一个多项式的分裂域理路分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。就是由它的全部根生成的子域，它只解决该多项式的分裂问题，未必自身代数闭。代数闭包则让以其中任意元素为系数的非常数多项式都有根。

在这个共同环境中，代数扩张 $E/F$ 的性质可以逐个检查极小多项式理路极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。：全部共轭根都在 $E$ 中给出正规性理路正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。，根互不重复给出可分性理路可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。。代数闭包自身包含全部共轭根，所以 $\bar{F}/F$ 总是正规扩张；它是否可分仍取决于基域，不能由代数闭性自动保证。

有限域的代数闭包可以写成

其中各域取在同一个代数闭包内。因为 $n!\mid (n+1)!$，这些子域逐层包含；任一代数元生成某个有限域 ${\mathbb{F}}_{p^d}$，而 $d$ 整除足够大的 $n!$，所以它必出现在这条链上。