形式陈述

若 $\alpha$$\alpha$ 在 $F$$F$ 上代数，求值同态

$$ \operatorname{ev}_\alpha:F[x]\to E, \qquad f\mapsto f(\alpha) $$$${\mathrm{ev}}_{\alpha }:F[x]\to E,f\mapsto f(\alpha )$$

的核是非零主理想。其唯一首一生成元 $m_{\alpha,F}(x)$$m_{\alpha ,F}(x)$ 称为 $\alpha$$\alpha$ 在 $F$$F$ 上的极小多项式。它在 $F[x]$$F[x]$ 中不可约；任意满足 $f(\alpha)=0$$f(\alpha )=0$ 的多项式都被 $m_{\alpha,F}$$m_{\alpha ,F}$ 整除。第一同构定理给出

$$ F[\alpha]\cong F[x]/(m_{\alpha,F}),\qquad [F(\alpha):F]=\deg m_{\alpha,F}. $$$$F[\alpha ]\cong F[x]/(m_{\alpha ,F}),[F(\alpha ):F]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha ,F}.$$

极小多项式随基域改变；对超越元不存在非零极小多项式。

直觉

所有令 $\alpha$$\alpha$ 为根的基域多项式形成一个理想，其中次数最低且首一的那个方程生成全部其他方程，因此是最精简的代数身份证。

例子与边界

$\sqrt2$$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $x^2-2$$x^2-2$；在 $\mathbb Q(\sqrt2)$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上则是 $x-\sqrt2$$x-\sqrt{2}$。$i$$i$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上为 $x^2+1$$x^2+1$，在 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 上为 $x-i$$x-i$。多项式 $x^4-4$$x^4-4$ 也以 $\sqrt2$$\sqrt{2}$ 为根，但不是极小多项式，因为可被 $x^2-2$$x^2-2$ 整除且可约。不能仅取“次数最低的任意多项式”而忽略首一规范，否则单位倍不唯一。不可约性依赖系数域。若 $f$$f$ 不可约且 $f(\alpha)=0$$f(\alpha )=0$，其首一化就是极小多项式。

推论与应用

极小多项式计算单扩张次数、构造伴随矩阵和刻画域嵌入，也是判断元素共轭、可分性与 Galois 群作用的核心数据。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 13, minimal polynomials and simple algebraic extensions。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 13, evaluation kernels and irreducible polynomials。