极小多项式

所有令 $\alpha$ 为根的基域多项式构成求值同态的核；这个理想由唯一首一不可约多项式生成，因此极小多项式就是该元素最精简的代数身份证。它不仅说明元素代数，还精确记录简单扩张的次数与可能的共轭。

$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $x^2-2$；在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上则是 $x-\sqrt{2}$。$i$ 在 $\mathbb{R}$ 上为 $x^2+1$，在 $\mathbb{C}$ 上为 $x-i$。多项式 $x^4-4$ 也以 $\sqrt{2}$ 为根，但不是极小多项式，因为可被 $x^2-2$ 整除且可约。不能仅取“次数最低的任意多项式”而忽略首一规范，否则单位倍不唯一。不可约性依赖系数域。若 $f$ 不可约且 $f(\alpha )=0$，其首一化就是极小多项式。

取 $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$。由 ${\alpha }^{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 可得

所以 $\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，扩张次数为 $4$。另一方面消去根式得到

这个四次首一多项式因次数已经等于扩张次数，正是 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。只找到一个消去多项式通常还不够；必须再证明没有更低次关系，或直接证明该多项式不可约。

极小多项式计算单扩张次数、构造伴随矩阵和刻画域嵌入，也是判断元素共轭、可分性公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。与 Galois 群作用的核心数据。它控制分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。中需要补入哪些共轭根；不要与线性算子的极小多项式公理库线性算子的极小多项式Minimal polynomial of an operator首一且次数最低、代入算子后为零的非零多项式。混同，虽然后者使用相同的“最小消去关系”思想。数值线性代数中，相对于初始向量或残差的算子消去关系控制Krylov 子空间公理库Krylov 子空间Krylov subspace · Arnoldi iteration · Lanczos iteration从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。维数，并解释GMRES公理库GMRES 方法GMRES · Generalized minimal residual method在 Krylov 仿射空间中逐步最小化线性系统的二范数残差，并权衡 Arnoldi 正交化、存储和重启代价。在精确算术中的有限步终止；这不是本页代数扩张多项式的直接算法用途。