不可约元

不可约元是分解过程的终点：把它写成 $p=ab$ 时，至少有一个因子可逆。若 $a$ 可逆，则 $b=a^{-1}p$，只是把 $p$ 换成相伴元。例如 $6=2\cdot 3=(-2)(-3)$ 中，两个负号由单位 $-1$ 转移，因子的不可约性保持不变。

不可约性检查的是 $p$ 本身的分解；素性检查的是 $p$ 对所有乘积的整除行为。整数素数同时满足这两条性质。在更一般的整环中，一个元素可以已经拆不开，却仍整除两个都不含它的因子之积。

在 $\mathbb{Z}$ 中不可约元恰为 $\pm p$（$p$ 为素数）。Euclid 引理保证它们也都是素元，使不同分解中的因子可以逐一配对，从而得到算术基本定理理路算术基本定理Fundamental theorem of arithmetic每个大于一的整数都能按次序无关且唯一地分解为素数乘积。的唯一性。

改变系数环会改变可用的因子。$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$ 中不可约，因为域上二次多项式可约当且仅当有根，而它无实根；在 $\mathbb{C}[x]$ 中则分解为 $(x-i)(x+i)$。元素也可能变成单位：$2$ 在 $\mathbb{Z}$ 中不可约，在 $\mathbb{Q}$ 中有逆元 $1/2$，因而不再是不可约元。

在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，取范数 $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$，它保持乘法，范数为 $1$ 的元素恰为单位 $\pm 1$。若 $2=uv$ 且两因子都非单位，则 $N(u)N(v)=4$，只能有 $N(u)=N(v)=2$。但 $b\ne 0$ 时 $a^2+5b^2\ge 5$，$b=0$ 时又没有整数平方等于 $2$，所以 $2$ 不可约。

同一个元素 $2$ 却不是素元：它整除 $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$，而 $\frac{1\pm \sqrt{-5}}{2}$ 的系数不是整数，因此不整除任一因子。这个整环中 $6$ 的两种不可约分解及其完整验证见唯一分解整环理路唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。

素元必不可约的证明用到了整环的消去律。若素元 $p=ab$，不妨设 $p\mid a$，写成 $a=pc$，则 $p=pcb$。消去非零的 $p$ 得到 $1=cb$，所以 $b$ 是单位。

在主理想整环理路主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。中，不可约元 $p$ 还对应极大理想 $(p)$。若 $(p)\subseteq (d)\subseteq R$，则 $p=dc$；不可约性迫使 $d$ 是单位，或 $c$ 是单位，对应的理想便分别是 $R$ 或 $(p)$。因此二者之间没有其他理想，商环 $R/(p)$ 是域。反过来，非零极大主理想的生成元必不可约。

取域 $F$ 上的不可约多项式 $m$，就能构造域扩张理路域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。 $F[x]/(m)$。若 $\mathrm{deg}m=d$，每个剩余类唯一表示为 $a_0+a_1\overline{x}+\cdots +a_{d-1}{\overline{x}}^{d-1}$，其中 $\overline{x}$ 满足 $m(\overline{x})=0$。代数元 $\alpha$ 的极小多项式理路极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。也必不可约：若它分成两个正次数因子，代入 $\alpha$ 后乘积为零，域中必有一个因子取值为零，与极小次数矛盾。