形式陈述

设 $R$$R$ 为整环。非零非单位元 $p\in R$$p\in R$ 称为不可约元，若每当 $p=ab$$p=ab$，则 $a$$a$ 或 $b$$b$ 至少有一个是单位；等价地，任何分解都只是在 $p$$p$ 上乘入一个单位。若 $p=uq$$p=uq$ 且 $u\in R^\times$$u\in R^{\times }$，则 $p,q$$p,q$ 称为相伴元，不可约性在相伴下保持。素元要求 $p\mid ab$$p\mid ab$ 时 $p\mid a$$p\mid a$ 或 $p\mid b$$p\mid b$。在整环中素元必不可约；反向一般失败，在唯一分解整环中才成立。不可约性依赖所在环，同一元素在扩环后可能分解。

直觉

不可约元是无法再拆成两个真正较小非单位因子的乘法原子；单位只改变表示，不算有效因子。

例子与边界

在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中，不可约元是 $\pm p$$\pm p$（$p$$p$ 为正素数）。$x^2+1$$x^2+1$ 在 $\mathbb R[x]$$\mathbb{R}[x]$ 不可约，但在 $\mathbb C[x]$$\mathbb{C}[x]$ 分解为 $(x-i)(x+i)$$(x-i)(x+i)$。在 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，$2$$2$ 可不可约却不具素性：$2\mid(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6$$2\mid (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6$，但不整除两个因子，这展示“不可约不必为素”。定义必须排除 $0$$0$ 与单位，否则 $1=1\cdot1$$1=1\cdot 1$ 等退化会破坏原子含义。若环有零因子，许多分解论性质需改写，因此标准定义以整环为环境。

推论与应用

不可约元是多项式分解、唯一分解整环和代数扩张中极小多项式的基础；区分不可约与素揭示唯一分解何时成立。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 8, irreducibles, primes, and factorization domains。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, irreducibility and factorization。