环

环把整数中可以相加、相减、相乘且乘法对加法分配的规律抽取出来。整数、多项式和矩阵外观不同，却共享这套运算骨架；环又不保证乘法交换或非零元素可逆，因此“除法”通常要改写成理想、商、局部化或模的语言。

乘法单位元是否纳入“环”的最低定义，以及环同态是否必须保 $1$，在不同教材中都有分歧。把约定集中在这个基础节点，可以防止“模要求 $1m=m$”、“域必须含幺”与“偶数环无幺”这些局部事实互相冲突；阅读外部资料时仍须先核对作者采用的范畴。

$\mathbb{Z}$ 是交换含幺环，但不是域；$M_n(F)$ 在 $n\ge 2$ 时是含幺非交换环。偶数集合 $2\mathbb{Z}$ 对通常加法与乘法封闭，因而是本库意义下的子环；它没有乘法单位元，所以不是 $\mathbb{Z}$ 的含幺子环。包含映射 $2\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}$ 是环同态，却不是保幺环同态，这正好展示两种同态约定的差别。

$\mathbb{N}$ 不是环，因为加法逆元通常不存在。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 虽是含幺交换环，却有零因子 $[2][3]=[0]$，说明消去律不能从环公理推出。只含一个元素的零环满足所有环公理；若某个“域”或“整环”结论需要排除它，必须把 $0\ne 1$ 写进假设。

在含幺交换环中进一步要求 $1\ne 0$ 且每个非零元素都可逆，就得到域。一般环通过 理想公理库理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。与 商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。刻画同余，通过 模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。把环元素解释为标量。交换环继续通向素理想、局部化和代数几何；非交换环则容纳矩阵环、算子代数与表示论。所有这些下游对象都应继承本条的含幺、保幺与子环约定，除非条目另行声明。