形式陈述

环是三元组 $(R,+,\cdot)$$(R,+,\cdot )$，满足：$(R,+)$$(R,+)$ 是阿贝尔群；乘法 $\cdot$$\cdot$ 结合；并且对所有 $a,b,c\in R$$a,b,c\in R$ 有

$$ a(b+c)=ab+ac,\qquad (a+b)c=ac+bc. $$$$a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc.$$

本条采用“乘法单位元不是最低定义的一部分”的约定；若存在双侧单位元则称含幺环。乘法不要求交换。

直觉

环把整数中可加、可减、可乘以及分配律保留下来，但不预设除法总能进行。它允许分别研究加法结构与乘法结构如何耦合。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 是交换含幺环。$n\times n$$n\times n$ 实矩阵在通常加法和乘法下是含幺环，且当 $n\ge2$$n\ge 2$ 时乘法不交换。$2\mathbb Z$$2\mathbb{Z}$ 是没有乘法单位元的环。$\mathbb N$$\mathbb{N}$ 不是环，因为加法逆元通常不存在。部分教材把“含幺”直接写入环的定义，使用时必须声明约定。

推论与应用

加入乘法交换性、非零单位元及非零元素可逆性得到域。环是多项式、模算术、线性代数、代数数论和编码理论的基本载体。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §7.1.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Chapter 11.