环

整数里的加、减、乘满足一套共同规律，多项式和矩阵也服从这些规律。环把这部分算术提取出来，同时保留“不能随意除法”和“乘法可能不交换”的空间。

分配律把两种运算联系起来：先相加再乘一个量，与分别相乘后相加一致。展开 $(a+b)(c+d)$ 时，先用右分配得到 $a(c+d)+b(c+d)$，再用左分配得到 $ac+ad+bc+bd$。两条分配律各自处理一侧的和，整个过程保留了因子次序，因此同样适用于矩阵这样的非交换乘法。

零吸收律是推论 ​

由分配律，$a0=a(0+0)=a0+a0$；在加法群中两边减去 $a0$，得到 $a0=0$。同理 $0a=0$。再由 $ab+a(-b)=a(b-b)=0$，得到 $a(-b)=-(ab)$。这些熟悉的符号规则来自公理，且没有使用乘法单位元。

这一证明用到了加法群的消去律。半环的加法只要求构成交换幺半群，未必可消去，因此半环的定义另行要求零对乘法吸收。

交换、含幺、可逆是不同条件 ​

$\mathbb{Z}$ 是交换含幺环，但 $2$ 没有乘法逆元。偶整数 $2\mathbb{Z}$ 对加减乘封闭，是无幺环；若存在单位元 $e$，由 $2e=2$ 得 $e=1$，与 $e\in 2\mathbb{Z}$ 矛盾。

$M_2(\mathbb{R})$ 以单位矩阵为幺元，却不交换。例如令

则 $AB=\mathrm{diag}(1,0)$，而 $BA=\mathrm{diag}(0,1)$。矩阵相加仍交换；环公理只强制加法交换。

在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$[2][3]=[0]=[2][0]$，但 $[3]\ne [0]$，所以乘法不能消去非零因子 $[2]$。自然数的加法缺少正整数的加法逆元，因此 $\mathbb{N}$ 不是环。

同态不一定保幺 ​

映射 $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$，$n\mapsto (n,0)$ 保持加法与乘法，但 $\phi (1)=(1,0)\ne (1,1)$。因此它是环同态，却不是保幺环同态。它的像 $\mathbb{Z}\times \{0\}$ 自身有单位元 $(1,0)$，也展示了子环的单位元可以不同于大环的单位元。

一般环用理想理路理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。规定哪些元素可以一致地当作零，并由商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。实现这一识别。交换性再使左右理想合一，通向交换代数中的素理想、局部化等构造。

把环元素用作标量会得到模理路模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。。若环是非零交换含幺环且每个非零元素可逆，就得到域理路域Field非零元素在乘法下均可逆的交换环。；域上的模是熟悉的向量空间。

若一个含幺环还指定了域 $k$ 到其中心的保幺环同态，就得到域上的含幺结合代数理路域上的结合代数Associative algebra over a field · Unital associative algebra从双线性乘法和结构常数定义含幺代数，用上三角乘法表构造并核验一个三维表示。；相应的标量作用使环成为 $k$-向量空间，并使乘法双线性。上三角矩阵的三维例子展示：同一个向量空间可承载不同乘法，表示还必须逐项保持乘法表。