投射模

满同态 $q:M\twoheadrightarrow N$ 把 $M$ 的一些信息压掉。给定 $P\to N$，投射性保证可以在压缩之前找到一条兼容路径 $P\to M$。自由模之所以投射，是因为映射只需在基上指定，而每个基向量的像都能沿满射任选一个原像；投射模则是自由模中由幂等投影切下来的稳定部分。

投射性是定义域一侧的性质：固定的是从 $P$ 出发的映射，并把它们越过满射向上提升。其对偶概念内射模公理库内射模Injective module任意定义在子模上的映射都能延拓到母模、等价地使反变 Hom 函子正合的模。固定陪域，并把定义在子模上的映射向外延拓。交换箭头方向而不交换量词位置，会得到错误定义。

每个自由模都投射。更有信息的非自由例子取环 $R=k\times k$，令幂等元 $e=(1,0)$。左理想

满足

所以 $P$ 是自由模 $R$ 的直和因子，从而投射。但 $P$ 不是非零自由 $R$-模：元素 $(0,1)$ 杀掉整个 $P$，而它不会杀掉自由模 $R^{(I)}$ 中的所有非零标准基向量。投射并不等于自由；在局部环等附加条件下，有限生成投射模才会被迫自由。

相反，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在 $n>1$ 时不是投射 $\mathbb{Z}$-模。规范满射

若能提升恒等映射，就会有截面 $s$。于是 $s([1])$ 是 $\mathbb{Z}$ 中被 $n$ 消去的非零元素，但 $\mathbb{Z}$ 无挠，矛盾。这里集合意义下选择余数代表并不保持加法，不能充当模同态提升。

域上的每个向量空间自由，因而投射；这项事实依赖选择一组基。投射性也不保证模有限生成、平坦分解有限长或每个子模仍投射。即使 $P$ 投射，任意商 $P/N$ 也未必投射，上面的 $\mathbb{Z}/n$ 正是自由模 $\mathbb{Z}$ 的商。

模范畴有足够多投射对象：任意模 $M$ 都是某个自由模 $F\twoheadrightarrow M$ 的商。对这个满射的核重复取自由覆盖，便得到投射分解。投射提升性质还给出分解比较定理：模同态可以提升成投射分解之间的链映射，且任意两个提升链同伦。

${\mathrm{Hom}}_R(P,-)$ 对任意 $P$ 都左正合；$P$ 投射恰好补上保持满射这一端，使它完全正合。由投射分解计算左导出函子时，投射对象上的高次导出量消失。这个消失是诊断投射性的结果，不意味着所有以 $P$ 为定义域的同调问题都平凡。