投射模

满同态 $q:M\twoheadrightarrow N$ 把 $M$ 的一些信息压掉。给定 $P\to N$，投射性保证可以在压缩之前找到一条兼容路径 $P\to M$。自由模之所以投射，是因为映射只需在基上指定，而每个基向量的像都能沿满射任选一个原像；投射模则是自由模中由幂等投影切下来的稳定部分。

投射性固定定义域 $P$，把从 $P$ 出发的映射沿满射提升。其对偶概念内射模理路内射模Injective module任意定义在子模上的映射都能延拓到母模、等价地使反变 Hom 函子正合的模。固定陪域 $I$：给定子模 $A\subseteq B$，每个 $A\to I$ 都能延拓到 $B\to I$。两者分别解决提升与延拓问题。

取域 $k$，令 $R=k\times k$，幂等元 $e=(1,0)$。左理想

满足

所以 $P$ 投射。它却不自由：非零环元素 $(0,1)$ 乘上 $P$ 的任意元素都得到零，而在任意非零自由 $R$-模中，$(0,1)$ 乘上一个标准基向量仍非零。这个例子展示了自由模的直和因子可以具有不同于自由模的结构。

相反，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在 $n>1$ 时不是投射 $\mathbb{Z}$-模。规范满射

若能提升恒等映射，就会有截面 $s$。于是 $s([1])$ 是 $\mathbb{Z}$ 中被 $n$ 消去的非零元素，但 $\mathbb{Z}$ 无挠，矛盾。这里集合意义下选择余数代表并不保持加法，不能充当模同态提升。

域上的每个向量空间都能选择一组基，因而自由且投射。交换局部环上的有限生成投射模也一定自由。一般环上，取商则不保持投射性：上面的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 正是自由模 $\mathbb{Z}$ 的商。

模范畴有足够多投射对象：任意模 $M$ 都是某个自由模 $F\twoheadrightarrow M$ 的商。对这个满射的核重复取自由覆盖，便得到投射分解。投射提升性质还给出分解比较定理：模同态可以提升成投射分解之间的链映射，且任意两个提升链同伦。

${\mathrm{Hom}}_R(P,-)$ 对任意 $P$ 都左正合；$P$ 投射恰好补上保持满射这一端，使它完全正合。相应地，对每个模 $N$ 和每个 $n>0$，都有 ${\mathrm{Ext}}_R^n(P,N)=0$。反过来，若对所有 $N$ 都有 ${\mathrm{Ext}}_R^1(P,N)=0$，每个以 $P$ 为商的短正合列就都分裂，从而 $P$ 投射。

投射模也一定平坦，因为自由模平坦，而平坦性由直和传给每个直和因子。交换环情形的证明及逆命题的反例见平坦模理路平坦模Flat module · Flatness张量后保留所有单射的模；以整数短正合列和局部化证明有理数模平坦但不投射。：$\mathbb{Q}$ 是平坦但不投射的 $\mathbb{Z}$-模。用投射分解计算加性函子的左导出函子时，投射模可使用仅在零次非零的分解，因此其高次左导出量消失。