分裂正合列

短正合列理路正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。说 $A$ 正好占据 $B$ 中被 $v$ 压成零的部分，而 $C$ 记录余下的商信息。分裂要求能在 $B$ 内选择一份保持代数运算的 $C$：先从 $C$ 提回 $B$，再投影出去必须原样返回。有了这份副本，$B$ 的每个元素都能唯一拆成“核方向”和“商方向”，扩张中不再有把两者缠在一起的额外信息。

截面选择了哪一份 $C$ 的副本，决定了具体的补模。如果 $s,t$ 是两个截面，则 $v(s-t)=0$，所以它们的差落在 $u(A)$ 中，可以唯一写成 $s-t=u\circ h$，其中 $h:C\to A$ 是模同态。不同截面之间的自由度因此由 ${\mathrm{Hom}}_R(C,A)$ 描述。

向量空间的每个短正合列都分裂。给 $u(A)\subseteq B$ 选一组基理路向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。并扩充为 $B$ 的基，剩余基向量张成补空间 $W$；限制 $v{|}_W:W\to C$ 是同构，其逆与包含映射复合便给出截面。

例如在 $0\to \mathbb{R}\stackrel{u}{\to }{\mathbb{R}}^2\stackrel{v}{\to }\mathbb{R}\to 0$ 中，令 $u(a)=(a,0)$、$v(x,y)=y$。对任意 $\lambda \in \mathbb{R}$，$s_{\lambda }(y)=(\lambda y,y)$ 都是截面，给出的补空间为直线 $x=\lambda y$。这些直线都与水平轴直和为整个平面；单凭正合列没有选定其中哪一条。

相反，对 $n>1$，

作为 $\mathbb{Z}$-模不分裂。若有同态截面 $s$，则 $s([1])$ 应是 $\mathbb{Z}$ 中被 $n$ 消去的非零元素，但 $\mathbb{Z}$ 无挠，矛盾。集合意义下可以为每个剩余类挑代表元，却不能让这种选择同时保持加法；因此集合截面不足以证明分裂。

群扩张还展示另一条边界：$1\to C_3\to S_3\to C_2\to 1$ 分裂，因为一个换位给出 $C_2$ 的同态截面，但 $S_3$ 非阿贝尔，所以它是 $C_3⋊C_2$，不是 $C_3\times C_2$。

分裂引理把截面、回缩与直和理路直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。三种语言互相转换。若商对象 $C$ 投射，就可将恒等映射 $1_C$ 沿满射 $v$ 提升，得到截面；若子对象 $A$ 内射，就可将 $1_A$ 沿单射 $u$ 延拓，得到回缩。两种情形都把原短正合列拆成直和。

Abel 范畴之间的加性函子都保持分裂短正合列，因为它保持直和以及截面、回缩的复合恒等式。分裂扩张也正是 ${\mathrm{Ext}}_R^1(C,A)$ 中的零类；非零类则描述无法按这两个端点拆成直和的扩张。 组成列与 Jordan–Hölder 定理理路模的组成列与 Jordan–Hölder 定理Composition series of a module · Jordan–Hölder theorem for modules用两条不同组成列展示因子多重集不变，以子模交叉比较证明唯一性，并计算不分裂扩张的长度。说明，不分裂扩张仍可与对应直和拥有完全相同的单模因子；单模清单没有记录截面是否存在。