分裂正合列

形式陈述 ​

设 $R$-模的短正合列为

$$0⟶A\stackrel{u}{\to }B\stackrel{v}{\to }C⟶0.$$

若存在 $R$-模同态 $s:C\to B$ 使 $v\circ s={\mathrm{id}}_C$，则称它分裂，$s$ 称为 $v$ 的截面。以下条件等价：存在这样的截面；存在回缩 $r:B\to A$ 使 $r\circ u={\mathrm{id}}_A$；存在与原列箭头相容的同构

$$\mathrm{\Phi }:A\oplus C\stackrel{\sim }{⟶}B,\mathrm{\Phi }(a,c)=u(a)+s(c).$$

这里“相容”意味着 $Phi(a,0)=u(a)$ 且 $v\mathrm{\Phi }(a,c)=c$，不只是抽象地知道 $B$ 与某个直和同构。由截面构造回缩时，每个 $b\in B$ 都有唯一分解

$$b=(b-s(v(b)))+s(v(b)),$$

第一项落在 $\ker v=\mathrm{im}u$；反向构造同理。这个等价性属于模或更一般的阿贝尔范畴。群的短正合列若分裂，通常只得到半直积 $B\cong A⋊C$；只有相应作用平凡时才是直积。

直觉 ​

短正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。说 $A$ 正好占据 $B$ 中被 $v$ 压成零的部分，而 $C$ 记录余下的商信息。分裂要求能在 $B$ 内选择一份保持代数运算的 $C$：先从 $C$ 提回 $B$，再投影出去必须原样返回。有了这份副本，$B$ 的每个元素都能唯一拆成“核方向”和“商方向”，扩张中不再有把两者缠在一起的额外信息。

这份选择往往不是自然的。不同截面会给出不同补模，正如同一向量子空间可以有许多补空间；分裂只断言至少存在一种相容拆法，并不指定首选坐标。

例子与边界 ​

向量空间的每个短正合列都分裂。给 $u(A)\subseteq B$ 选一组基并扩充为 $B$ 的基，剩余基向量张成补空间 $W$；限制 $v{|}_W:W\to C$ 是同构，其逆与包含映射复合便给出截面。不过换一组扩充基通常会得到另一截面，所以“总能分裂”不等于“自然分裂”。

相反，对 $n>1$，

$$0⟶\mathbb{Z}\stackrel{\times n}{\to }\mathbb{Z}\stackrel{q}{\to }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}⟶0$$

作为 $\mathbb{Z}$-模不分裂。若有同态截面 $s$，则 $s([1])$ 应是 $\mathbb{Z}$ 中被 $n$ 消去的非零元素，但 $\mathbb{Z}$ 无挠，矛盾。集合意义下可以为每个剩余类挑代表元，却不能让这种选择同时保持加法；因此集合截面不足以证明分裂。

群扩张还展示另一条边界：$1\to C_3\to S_3\to C_2\to 1$ 分裂，因为一个换位给出 $C_2$ 的同态截面，但 $S_3$ 非阿贝尔，所以它是 $C_3⋊C_2$，不是 $C_3\times C_2$。

推论与应用 ​

分裂引理把截面、回缩与直和公理库直和Direct sum · Internal direct sum用有限支撑元组构造外部直和，并以唯一分解刻画子空间的内部直和。三种语言互相转换。处理链复形、投射模和内射模时，可以选择最容易验证的一端：投射对象使指向它的满射可分裂，内射对象使从它出发的单射可分裂。模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。保证所选副本尊重标量作用；商模公理库商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。则解释 $C\cong B/u(A)$ 为何只给出商信息，而没有自动提供返回 $B$ 的同态。

分裂还说明某些扩张不携带新的粘合数据，但不能据此把所有正合列都当作直和。非分裂扩张正是 Ext 群与同调代数要测量的对象；在具体问题中，先证明分裂存在，再讨论选择是否自然，通常比直接写下一个抽象同构更可靠。

参考资料

• Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009, Chapter 1, split exact sequences and the splitting lemma.
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994, §1.3, split sequences and additive categories.