内射模

内射性把延拓能力放在陪域上：映射已在子模中定义后，可以保留原来的取值，并为母模的其他元素安排相容的取值。它与投射模理路投射模Projective module对任意满模同态都能提升出映射、等价地为自由模直和因子的模。对偶；投射模沿满射提升映射，内射模沿单射扩展映射的定义域。

短正合列刻画使这种直觉更具体。若 $I\hookrightarrow E$，把 $1_I:I\to I$ 延拓到 $r:E\to I$，便得到 $r{|}_I=1_I$。每个 $e\in E$ 都唯一拆成 $r(e)+(e-r(e))$，两项分别属于 $I$ 和 $\ker r$，所以 $E=I\oplus \ker r$。

Abel 群也就是 $\mathbb{Z}$-模中，内射对象恰好是可除群：对每个非零整数 $n$ 和每个 $x$，存在 $y$ 使 $ny=x$。因此 $\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 都内射。以 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 为例，给定 $[r]\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 与 $n>0$，类 $[r/n]$ 满足 $n[r/n]=[r]$；Baer 判据把这种可除性转成从理想 $n\mathbb{Z}$ 的延拓。

$\mathbb{Z}$ 自身不是内射。定义

若它能延拓为 $\tilde{f}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，则

在整数中没有这样的解。$\mathbb{Z}$ 是自由因而投射，这个延拓问题同时展示了它不内射：提升映射与扩展映射依赖不同的性质。

$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$ 说明内射模的子模可以不内射。域上的向量空间则全部内射：把子空间的一组基扩充为母空间的基，在新增基向量上任选像，就能延拓原映射。有限生成 Abel 群中，自由部分不具有可除性，非零有限挠部分也会被其阶杀掉，所以只有零群既有限生成又内射。

内射模的商也可能失去内射性。取域 $k$，令 $R=k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$，其理想只有 $0,(\epsilon ),R$。任何映射 $(\epsilon )\to R$ 都把 $\epsilon$ 送到某个 $a\epsilon$，可延拓为 $1\mapsto a$，所以 Baer 判据说明 $R$ 自身内射。商模 $k=R/(\epsilon )$ 却不内射：映射 $(\epsilon )\to k$、$\epsilon \mapsto 1$ 无法延拓到 $R$，因为任意延拓都必须把 $\epsilon$ 送到 $\epsilon \tilde{f}(1)=0$。

模范畴有足够多内射对象：每个模 $N$ 都能嵌入某个内射模 $I^0$。继续把余核嵌入 $I^1$，再对新的余核重复，便得到正合的内射分解 $0\to N\to I^0\to I^1\to \cdots$。

固定第一个变量 $M$，将 ${\mathrm{Hom}}_R(M,-)$ 作用于 $N$ 的内射分解，所得上链复形的第 $n$ 次上同调就是 ${\mathrm{Ext}}_R^n(M,N)$。若 $N=I$ 已经内射，分解可在零次结束，所以所有 $n>0$ 的 ${\mathrm{Ext}}_R^n(M,I)$ 都为零。固定第二个变量计算反变的 ${\mathrm{Hom}}_R(-,N)$ 时，则可对第一个变量取投射分解。