内射模 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $I$ 为左 $R$ -模。若对每个单同态 $j:M\hookrightarrow N$ 和每个同态 $f:M\to I$ ，都存在 $\widetilde f:N\to I$ 使

\widetilde f\circ j=f,

则称 $I$ 为内射模。延拓 $\widetilde f$ 一般不唯一。

以下条件等价：

$I$ 具有上述延拓性质；
反变函子 $\operatorname{Hom}_R(-,I)$ 把短正合列送为短正合列；
每个以 $I$ 为子模的短正合列 $0\to I\to E\to C\to0$ 都分裂；
只需对每个左理想 $J\subseteq R$ 检验映射 $J\to I$ 能否延拓到 $R\to I$ 。最后一条是 Baer 判据。

第二条中的方差不能忽略。态射 $u:M\to N$ 诱导预复合映射

u^*:\operatorname{Hom}_R(N,I)\to\operatorname{Hom}_R(M,I), \qquad h\mapsto h\circ u,

所以箭头方向反转。内射性补足的是把 $M\to I$ 越过单射 $M\hookrightarrow N$ 延拓这一端。

直觉

内射模像一个没有“延拓裂缝”的陪域：只要映射已在子模上定义并保持代数结构，就能在整个母模上继续定义。它与投射模严格对偶；投射模沿满射向上寻找原像，内射模沿单射向外补全定义域。

短正合列刻画使这种直觉更具体。若 $I\hookrightarrow E$ ，把 $1_I:I\to I$ 延拓到 $r:E\to I$ ，便得到 $r|_I=1_I$ ，所以 $I$ 在 $E$ 中有补模。内射对象因此不能以非分裂方式作为扩张的左端。

例子与边界

Abel 群也就是 $\mathbb Z$ -模中，内射对象恰好是可除群：对每个非零整数 $n$ 和每个 $x$ ，存在 $y$ 使 $ny=x$ 。因此 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 都内射。以 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 为例，给定 $[r]\in\mathbb Q/\mathbb Z$ 与 $n>0$ ，类 $[r/n]$ 满足 $n[r/n]=[r]$ ；Baer 判据把这种可除性转成从理想 $n\mathbb Z$ 的延拓。

$\mathbb Z$ 自身不是内射。定义

f:2\mathbb Z\to\mathbb Z,\qquad f(2k)=k.

若它能延拓为 $\widetilde f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ ，则

2\widetilde f(1)=\widetilde f(2)=1,

在整数中不可能。注意 $\mathbb Z$ 是自由因而投射；同一对象可以投射而不内射，说明两种性质不是一般环上的同义词。

内射模的商未必内射，子模也未必内射。有限生成条件同样危险：除零模外，有限生成 Abel 群不可能既非零又可除，所以没有非零有限生成内射 $\mathbb Z$ -模。域上的向量空间则全部内射，因为子空间总有补空间；这个结论依赖标量是域。

推论与应用

模范畴有足够多内射对象：每个模都能嵌入某个内射模。构造虽不如自由覆盖直观，但可借助内射包或余生成对象完成；随后对余核递归嵌入，得到内射分解。

$\operatorname{Hom}_R(-,I)$ 总是左正合， $I$ 内射恰好使它保持短正合列右端所需的满射，从而完全正合。内射分解因此计算反变 Hom 或一般左正合函子的右导出函子。若第一个变量固定，Ext 的高次群在内射对象上消失；这个结论依赖所讨论的方差，不能把“内射”无方向地套到任意 Hom 位置。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§2.3。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 3, §§3.3–3.4。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §5。

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