Ext 函子 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $R$ 为环， $M,N$ 为左 $R$ -模。固定第一变量时，左正合函子

\operatorname{Hom}_R(M,-):R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}

的右导出函子定义为

\operatorname{Ext}_R^n(M,N) =R^n\operatorname{Hom}_R(M,-)(N).

具体地，选 $N$ 的内射分解 $N\to I^\bullet$ ，取上链复形 $\operatorname{Hom}_R(M,I^\bullet)$ 的上同调：

\operatorname{Ext}_R^n(M,N)=H^n\!\left(\operatorname{Hom}_R(M,I^\bullet)\right).

等价地，可选 $M$ 的投射分解 $P_\bullet\to M$ ，计算

\operatorname{Ext}_R^n(M,N) \cong H^n\!\left(\operatorname{Hom}_R(P_\bullet,N)\right).

这种“平衡性”来自双复形比较，并非两种分解逐项相同。Ext 对 $M$ 反变、对 $N$ 协变，且

\operatorname{Ext}_R^0(M,N)\cong\operatorname{Hom}_R(M,N).

直觉

Hom 函子总能把核方向处理正确，却不一定把一个定义在子对象上的映射延拓到整个对象。Ext 的一次项记录第一次延拓失败；继续沿分解向高次数走，就得到更高层的兼容性障碍。

$\operatorname{Ext}^1_R(M,N)$ 还有具体的扩张意义：它由短正合列

0\to N\to E\to M\to0

的等价类组成，零元对应分裂扩张，加法由 Baer 和构造给出。这里端点顺序很重要：第二变量 $N$ 是子对象，第一变量 $M$ 是商对象。

例子与边界

计算 $\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^n(\mathbb Z/m,\mathbb Z)$ 。使用内射分解

0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0.

有限群到无挠群 $\mathbb Q$ 的同态为零，而

\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/m,\mathbb Q/\mathbb Z) \cong(\mathbb Q/\mathbb Z)[m]\cong\mathbb Z/m.

所以 Hom 上链复形只有次数 $1$ 的非零项，得到

\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^0(\mathbb Z/m,\mathbb Z)=0, \qquad \operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(\mathbb Z/m,\mathbb Z)\cong\mathbb Z/m,

且 $n\ge2$ 时为零。同样的答案可由投射分解

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0

得到：施加 $\operatorname{Hom}(-,\mathbb Z)$ 后，一次上同调是乘 $m$ 的余核。

扩张

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0

给出 $\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/m,\mathbb Z)$ 的一个非零类；若它为零，短正合列就会分裂，但 $\mathbb Z$ 中没有非零 $m$ -挠元可供截面选择。

Ext 不是集合基数的指数，也不自动是环。固定一个对象并配合 Yoneda 复合时，某些直和 $\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n(M,M)$ 才获得分次环结构。若 $M$ 投射或 $N$ 内射，则正次数 Ext 消失；反过来只看到某一对模的 Ext 消失，不能断言其中一个必定投射或内射。

推论与应用

第一变量的短正合列因反变性产生箭头反向的长正合列；第二变量的短正合列产生通常方向的长正合列。连接同态把一个 Hom 映射无法延拓的障碍送入 $\operatorname{Ext}^1$ ，更高连接态射则通过次数移位继续传播。

$\operatorname{Ext}^1$ 分类扩张， $\operatorname{Ext}^2$ 可描述两层扩张及其拼接障碍；Yoneda 乘积把 $p$ 次与 $q$ 次扩张拼成 $p+q$ 次扩张。在群上同调、层上同调和形变理论中，Ext 分别承担分类、上同调与障碍空间的角色，但这些解释都依赖所在 Abel 范畴和方差，不能脱离底环或对象类型使用。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.5–2.6 and §3.4。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 7, §§7.1–7.3。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §7 and Ch. VI, §1。

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