导出函子 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 Abel 范畴， $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 为加性函子。

若 $\mathcal A$ 有足够多投射对象且 $F$ 右正合，对 $A\in\mathcal A$ 选投射分解 $P_\bullet\twoheadrightarrow A$ ，定义左导出函子

L_nF(A)=H_n(F(P_\bullet)),\qquad n\ge0.

由于 $F$ 右正合， $L_0F\cong F$ 。若 $\mathcal A$ 有足够多内射对象且 $F$ 左正合，选内射分解 $A\hookrightarrow I^\bullet$ ，定义右导出函子

R^nF(A)=H^n(F(I^\bullet)),\qquad n\ge0,

并有 $R^0F\cong F$ 。上、下标分别提醒我们使用上链内射分解或链式投射分解，不是指数与幂。

对态射 $f:A\to A'$ ，比较定理把 $f$ 提升为分解之间的链映射。不同提升彼此链同伦，故诱导同一个同调态射；任意两组投射分解或内射分解也链同伦等价。因此 $L_nF(A)$ 、 $R^nF(A)$ 及其态射作用在典范同构意义下不依赖选择。

“典范同构”并非把所有分解宣布为相等。给两组投射分解之间提升 $1_A$ ，可得两个方向的链映射；它们的复合都提升同一个恒等态射，比较定理遂给出与各自恒等链映射的链同伦。施加加性函子并取同调后，这些复合真的成为恒等。内射情形对偶。这条证明链同时解释对象独立性、态射良定义性与函子复合律。

直觉

一个只有右正合性的函子能正确处理商，却可能把单射变坏；一个只有左正合性的函子能正确处理核，却可能漏掉末端满射。分解先用对该方向足够“无障碍”的对象替代输入，再逐项施加 $F$ 。新复形出现的同调就是正合性损失留下的残差。

零次导出函子恢复原函子，高次项则不应理解成给 $F$ 做形式微分。它们是一套带长正合列的函子，逐层记录障碍：一次项常分类扩张或第一次平坦性失败，更高次项记录关系之间继续出现的关系。

例子与边界

固定 $m>0$ ，考虑右正合函子

F(-)=(-)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z/m\mathbb Z.

对 $A=\mathbb Z/n\mathbb Z$ 使用投射分解

0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z\to A\to0.

施加 $F$ 后得到

0\to\mathbb Z/m\mathbb Z \xrightarrow{\times n}\mathbb Z/m\mathbb Z\to0.

令 $d=\gcd(m,n)$ 。乘 $n$ 的核由 $[m/d]$ 生成，有 $d$ 个元素；余核也有 $d$ 个元素。因此

L_1F(A)\cong\mathbb Z/d\mathbb Z, \qquad L_0F(A)\cong\mathbb Z/d\mathbb Z,

而 $L_kF(A)=0$ 对 $k\ge2$ 。一次项非零具体说明张量没有保持原分解左端的单射。

若随意选一个正合复形而不要求其项投射或内射，态射未必能提升，换分解后的同调也未必一致。若 $F$ 不是加性函子，逐项作用后甚至可能不保零态射与链复形条件；一般非加性导出需要另一套理论。

方差也必须显式处理。反变 Hom 函子应看作定义在反范畴上的协变函子，短正合列的箭头方向随之反转。省略这一点会把左导出、右导出及连接同态的方向全部写反。

还要区分“逐项无环”与“分解对当前函子无环”。投射对象适合所有右正合加性函子的标准左导出，内射对象适合所有左正合加性函子的标准右导出；在更一般场景可以使用 $F$ -无环对象，但必须证明这些对象足够多且相应比较定理仍成立，不能只因一次计算碰巧给出零同调就替代分解。

推论与应用

每个短正合列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ ，在适当分解与函子作用后产生长正合列。例如右导出函子给出

0\to F(A')\to F(A)\to F(A'') \to R^1F(A')\to R^1F(A)\to\cdots.

连接态射来自同调复形上的蛇引理，并对短正合列态射自然。

若 $F$ 本身正合，则所有正次数导出函子为零；对投射对象，左导出高次项为零；对内射对象，右导出高次项为零。反过来，某一输入上的消失只说明该输入对当前函子无障碍，不能直接推出 $F$ 在全范畴正合。Hom 的右导出产生 Ext，张量积的左导出产生 Tor，这两族把扩张与挠性放入同一框架。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§§2.4–2.5。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §§6.5–6.7。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §§6–7。