加性范畴 | Codeboy's Blog

形式陈述

加性范畴是满足以下条件的预加性范畴 $\mathcal A$ ：

存在零对象 $0$ ，即同一对象既是始对象又是终对象；
任意两个对象 $A,B$ 都有双积 $A\oplus B$ ，它同时是二元积与二元余积。

零对象的含义来自始对象与终对象。双积则由态射

i_A:A\to A\oplus B,\quad i_B:B\to A\oplus B, \qquad p_A:A\oplus B\to A,\quad p_B:A\oplus B\to B

刻画，并满足

p_Ai_A=1_A,\quad p_Bi_B=1_B,\quad p_Ai_B=0,\quad p_Bi_A=0,\quad i_Ap_A+i_Bp_B=1_{A\oplus B}.

在预加性背景下，二元范畴积与余积只要其中一者存在，就会通过上述公式典范地兼具另一者的泛性质；因此“有零对象和所有二元积”“有零对象和所有二元余积”“有所有有限双积”是等价表述。

若 $f:A\to C$ 、 $g:B\to C$ ，由余积泛性质得到 $[f\ g]:A\oplus B\to C$ ；若 $u:C\to A$ 、 $v:C\to B$ ，由积泛性质得到列态射 $\binom uv:C\to A\oplus B$ 。于是

[f\ g]\binom uv=fu+gv,

而 $A_1\oplus\cdots\oplus A_n\to B_1\oplus\cdots\oplus B_m$ 的态射可由 $m\times n$ 个分量组成的矩阵唯一表示。

直觉

预加性只让平行箭头可相加；加性进一步让对象也能按有限个独立分量拼起来。双积不是把积和余积偶然放在同一个对象上，而是加法结构迫使“从各分量射入”和“向各分量投影”互相配合，最终得到单位分解

1=i_Ap_A+i_Bp_B.

这条式子正是线性代数中“一个向量等于两个坐标分量之和”的无坐标版本。矩阵乘法里的求和来自 Hom 群加法，矩阵条目的复合来自范畴复合；加性范畴因此是矩阵演算成立的自然环境。

例子与边界

任意环 $R$ 的左模范畴 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 是加性的。零模是零对象， $M\oplus N$ 的底层集合由二元组构成；有限情形下它既满足积的投影泛性质，也满足余积的嵌入泛性质。给定

F=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:M_1\oplus M_2\longrightarrow N_1\oplus N_2,

其分量为 $a=p_1Fi_1$ 等，且对 $(x,y)$ 有

F(x,y)=(a(x)+b(y),c(x)+d(y)).

这不是类比，而是双积恒等式直接推出的计算。

有限生成自由 $R$ -模及其同态组成的范畴也是加性的：有限直和仍自由且有限生成。可是它一般不是 Abel 范畴。例如在 $R=\mathbb Z$ 时，态射 $\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z$ 的余核是 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ，不再是自由模。

非零环形成的一对象预加性范畴不是加性的，因为唯一对象不能成为零对象。另一方面，仅有零对象和二元积的普通范畴也不够；若 Hom 集没有相容的 Abel 群结构，就没有 $i_Ap_A+i_Bp_B$ 这条式子，也不能得到矩阵加法。

无限直和不是加性范畴定义的一部分。有限积与有限余积在这里重合，但无限积和无限余积在模范畴中通常不同：前者允许任意支撑的元组，后者只允许有限支撑。把有限结论无条件推广到无限族会丢失这个边界。

推论与应用

加性范畴为短正合列之前的“线性骨架”提供环境：可以谈零态射、直和、分块矩阵、链复形和链同伦，也可以定义加性函子。若幂等态射 $e^2=e$ 能分裂，则对象相应分成两个直和分量；但一般加性范畴未必具有足够的像对象，幂等也未必自动分裂。

加性函子自动保持有限双积。理由不是另加一条保存直和的公理，而是它保持零态射、态射加法和复合，故把 $p_ji_k=\delta_{jk}$ 与 $i_Ap_A+i_Bp_B=1$ 原样送到目标范畴。像对象连同这些射入、投影仍满足双积恒等式。这一观察使分解上的逐项函子作用能继续使用分块矩阵，而不会依赖重新选择坐标。

要把“映像等于核”变成稳定的正合演算，还需每个态射拥有核与余核，并保证余像到像的典范态射为同构；这正是 Abel 范畴增加的内容。因此加性范畴允许写出矩阵和复形，却不保证商对象留在范畴中。

参考资料

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. VIII, §§2–3。
Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.2。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 5, §§5.1–5.2。

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述