加性范畴

预加性让平行箭头可相加，加性进一步让对象按有限个独立分量拼起来。双积的射入与投影由五条恒等式联系，其中交叉复合为零，同一分量上的复合为恒等，整体则满足单位分解

这条式子正是线性代数中“一个向量等于两个坐标分量之和”的无坐标版本。矩阵乘法里的求和来自 Hom 群加法，矩阵条目的复合来自范畴复合；加性范畴因此是矩阵演算成立的自然环境。

任意环 $R$ 的左模范畴 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 是加性的。零模是零对象，模直和理路直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。 $M\oplus N$ 的底层集合由二元组构成；有限情形下它既满足积的投影泛性质，也满足余积的嵌入泛性质。给定

各个分量都是模同态理路模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。，例如 $a=p_{1}F{i}_1$，且对 $(x,y)$ 有

这个公式由 $1=i_1{p}_1+i_2{p}_2$ 展开得到：先把输入拆成两个分量，分别施加对应态射，再把输出相加。

有限生成自由 $R$-模及其同态组成的范畴也是加性的，因为有限直和仍自由且有限生成。在有限生成自由 Abel 群的范畴中，$\mathbb{Z}\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}$ 同时是单态射与满态射：乘 $2$ 可在输入端消去，而任意自由 Abel 群目标都无挠，所以 $2u=2v$ 也推出 $u=v$。它却没有整数系数的逆，故这个加性范畴不是Abel 范畴理路Abel 范畴Abelian category · 阿贝尔范畴每个态射都有核与余核且余像到像的典范态射总为同构的加性范畴。。

有零对象和二元积的范畴仍可能缺少加性结构。例如带基点集合的范畴中，单点集是零对象，积是带积基点的笛卡尔积，余积则把两个基点粘在一起。两个二元素带基点集合的积有四个元素，余积只有三个元素，因此它们无法同构为双积。

模范畴中的无限积与无限直和有不同的支撑条件。例如 $(1,1,1,\dots )$ 属于 $\prod _{n\ge 1}\mathbb{Z}$，却不属于 $\underset{n\ge 1}{⨁}\mathbb{Z}$；后者的元素只有有限个非零分量。加性范畴中的双积结论针对有限族，正好避开了这个支撑差异。

双积分解 $X=A\oplus B$ 给出互补幂等态射 $e=i_A{p}_A$ 与 $1-e=i_B{p}_B$。反过来，若 $e$ 和 $1-e$ 分别分裂出对象 $A,B$，这些射入与投影就满足双积恒等式，得到 $X\cong A\oplus B$。

在模范畴里，一个端同态幂等元给出模直和；要让标量代数本身成为乘积，还需中心幂等元理路中心幂等元与代数块Central idempotent · Block decomposition of an algebra区分模直和与代数乘积，用交叉角落检测块间通道，并证明本原中心幂等元分块唯一。。矩阵的列分解不把矩阵代数拆成两个代数因子，因为非对角矩阵仍能连接两个方向。

幂等的分裂取决于范畴中有哪些对象。偶数维有限维向量空间及全部线性映射组成加性范畴，其中 $k^2$ 上的 $e(x,y)=(x,0)$ 是幂等；若它分裂出对象 $A$，则 $\dim A=\mathrm{rank}e=1$，而范畴中没有这样的对象。因此这个幂等在该范畴内不分裂。

加性函子自动保持有限双积，因为它保持零态射、态射加法和复合，故把 $p_j{i}_k={\delta }_{jk}$ 与 $i_A{p}_A+i_B{p}_B=1$ 原样送到目标范畴。像对象连同这些射入、投影仍满足双积恒等式。这一观察使分解上的逐项函子作用能继续使用分块矩阵，而不会依赖重新选择坐标。

进一步要求每个态射拥有核与余核，且余像到像的典范态射为同构，就得到 Abel 范畴。此时矩阵所定义的方程既有核对象，也有对应商对象，可以继续构造正合列与同调。