形式陈述

群 $(G,\ast)$$(G,\ast )$ 称为阿贝尔群，若对所有 $a,b\in G$$a,b\in G$ 都有 $a\ast b=b\ast a$$a\ast b=b\ast a$。通常改用加法记号：单位元写作 $0$$0$，逆元写作 $-a$$-a$，运算写作 $a+b$$a+b$。任意阿贝尔群的每个子群都正规，商群仍为阿贝尔群；有限直积、子群和同态像也保持交换性。交换性是全局恒等式，不能只由某组特殊元素两两交换推出，除非这些元素确实生成整个群。

直觉

阿贝尔群中运算次序不重要，因此组合元素更像整数加法或向量相加；非交换群则保留操作先后顺序。

例子与边界

$(\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z},+)$、$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$、任意向量空间的加法群都是阿贝尔群；对 $n\ge3$$n\ge 3$，对称群 $S_n$$S_n$ 不是阿贝尔群，例如换位 $(12)(23)\ne(23)(12)$$(12)(23)\ne (23)(12)$。循环群总是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定循环，如 $C_2\times C_2$$C_2\times C_2$。矩阵加法群交换，而一般可逆矩阵乘法群不交换。平凡群通常也算阿贝尔群。子群正规只说明可取商，并不意味着所有群扩张自动是直积。

推论与应用

阿贝尔群是整数模、同调群、模和线性代数的共同底层结构；有限生成阿贝尔群结构定理把它们分解为自由部分与有限循环部分。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 5, abelian groups and finitely generated structure。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2, commutative groups and examples。