阿贝尔群

一般群像依次执行动作，阿贝尔群更像叠加位移或数量。位移先向东再向北，与先向北再向东终点相同；所以有限和可以自由改变括号与顺序，并把相同方向合并成整数倍。这个特征让线性组合、模与同调理论能够在群的基础上继续发展。

交换并不意味着结构只有一个方向。循环群由单个元素驱动，阿贝尔群则可以有多个独立生成方向；${\mathbb{Z}}^2$ 中横向与纵向位移彼此交换，却没有一个位移能生成整张格点平面。有限生成阿贝尔群结构定理所做的，正是把这些独立方向拆成无限循环部分和有限循环部分。

交换律还把左右之分消掉：左陪集与右陪集自动一致，每个子群都在共轭下保持不变。因此阿贝尔群中任意子群都可以取商，但“可以取商”并不保证商仍保留原群的全部信息；被商子群中的方向会被整体压成零。

整数、剩余类和向量空间在加法下都是阿贝尔群。非零复数在乘法下也是阿贝尔群；它同时包含模长变化与角度旋转。由此可见，加法记号只是方便约定，群元素完全可以来自其他对象。

连续函数集合 $C([0,1],\mathbb{R})$ 在逐点加法下构成阿贝尔群：零函数是单位元，$f$ 的逆元是 $-f$。这个例子把阿贝尔群的底层结构延伸到无限维函数空间，远远超出有限集合与整数格。

每个循环群都阿贝尔，因为同一生成元的幂按指数相加。反向不成立：Klein 四元群 $C_2\times C_2$ 的三个非零元素都只有二阶，因而没有一个元素能走遍全群。这里的直积公理库群的直积Direct product of groups在群的笛卡尔积上逐坐标运算所得的群，用来组合彼此独立的群结构。保留了两个独立的二元方向。

对称群 $S_n$ 在 $n\ge 3$ 时不阿贝尔。例如按右侧先作用的约定，

自然数在加法下虽然交换，却没有负数作为逆元，所以只是交换幺半群。交换律不能替代群的其他公理。

还有一个容易误判的边界：所有子群都正规并不推出群阿贝尔。四元数群 $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 非交换，但每个子群都正规。正规性控制整个子群在共轭下是否保持，不要求子群中的每个元素逐点与全群交换。

阿贝尔性被子群、同态像、商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。和直积保持。以商群为例，若 $A$ 阿贝尔且 $B\le A$，则

因此 $A/B$ 仍阿贝尔。对直积，交换律逐坐标成立。反之，一个群即使有阿贝尔正规子群和阿贝尔商，也未必阿贝尔；$S_3$ 有正规子群 $A_3$，且 $A_3$ 与 $S_3/A_3$ 都阿贝尔，但 $S_3$ 本身不交换。

有限生成阿贝尔群结构定理断言，每个有限生成阿贝尔群都同构于

的一种标准形式，并可要求 $n_1\mid n_2\mid \cdots \mid n_k$。这把“若干可交换方向”精确拆成自由方向与周期方向，也是 Smith 正规形能够分类整数矩阵所定义商群的原因。

对任意群 $G$，把交换子子群 $[G,G]$ 商掉得到阿贝尔化 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$。任意从 $G$ 到阿贝尔群的同态都唯一地经过这个商；交换子子群恰好是迫使目标交换所必须消去的部分，因此阿贝尔化保留了所有能被交换目标观察到的信息。