形式陈述

每个有限生成阿贝尔群 $G$$G$ 都存在唯一整数 $r\ge0$$r\ge 0$ 与唯一满足

$$ 1<d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_k $$$$1<d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k$$

的整数列，使

$$ G\cong\mathbb Z^r\oplus\mathbb Z/d_1\mathbb Z\oplus\cdots\oplus\mathbb Z/d_k\mathbb Z. $$$$G\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}.$$

这称为不变因子分解，$r$$r$ 为自由秩。等价地，有限挠部分可唯一分解为素数幂循环群的直和

$$ \bigoplus_{p}\bigoplus_j \mathbb Z/p^{e_{p,j}}\mathbb Z, $$$$\underset{p}{⨁}\underset{j}{⨁}\mathbb{Z}/p^{e_{p,j}}\mathbb{Z},$$

称为初等因子分解。存在性可由整数矩阵的 Smith 正规形证明，唯一性可从各倍数子群或 $p$$p$-初等部分恢复。

直觉

有限生成阿贝尔群只有两类成分：无限的自由方向与有限的素数幂挠方向。整数矩阵的整行列变换把全部关系整理成互相独立的对角约束。

例子与边界

$\mathbb Z/6\mathbb Z\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/3\mathbb Z$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，而 $\mathbb Z/4\mathbb Z$$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 不同构于 $\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2$$\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$，因为前者有阶四元素。$\mathbb Z^2\oplus\mathbb Z/12$${\mathbb{Z}}^2\oplus \mathbb{Z}/12$ 的秩为二、挠子群阶为十二。定理要求有限生成；例如 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 作为加法群并不具有这种有限直和分解。本条不把 PID 模结构定理设为学习前置，但证明可视为该定理在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 上的特例。分解唯一是指不变量唯一，不是选定子群嵌入或同构本身唯一。

推论与应用

该定理分类有限阿贝尔群，计算有限 CW 复形同调群，并通过 Smith 正规形解决整数线性关系。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§12.1, finitely generated abelian groups and invariant factors。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Ch. III, structure of finitely generated modules over a PID。