循环群

循环群只有一种基本动作，所有元素都是把它向前或向后重复若干次。若永远不回到单位元，群沿整数轴无限延伸；若最早在第 $m$ 步回到单位元，之后的运动便以 $m$ 为周期。生成元把整个群压缩成一个动作及其周期，但它不一定唯一。

这种单源结构自动带来交换性：

反过来，运算交换并不意味着存在单个生成元。交换律只允许重排多个基本方向，循环性却要求所有方向本来就是同一个方向的整数倍。

有限循环群的图像可以看成匀速走表盘。步长 $k$ 每次把位置加 $k$；它能走遍全部 $m$ 个刻度，恰好在 $k$ 与 $m$ 互素时成立。这里的最大公因数公理库最大公约数Greatest common divisor · GCD同时整除两个整数且被所有公约数整除的非负整数。精确测量步长会把表盘拆成多少个独立循环。

$(\mathbb{Z},+)$ 由 $1$ 和 $-1$ 生成，其他整数 $d$ 只生成 $d\mathbb{Z}$。在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中，$\overline{5}$ 是生成元，因为它与 $12$ 互素；$\overline{8}$ 的阶为 $12/gcd(12,8)=3$，只走过 $\overline{0},\overline{8},\overline{4}$。

复数中的 $m$ 次单位根

在乘法下由 $e^{2\pi i/m}$ 生成。这个例子把抽象周期变成几何旋转：乘一次生成元就是在单位圆上转过 $2\pi /m$，其子群对应只访问某组等距顶点。

Klein 四元群 $C_2\times C_2$ 是阿贝尔群却不循环，因为每个非单位元的阶都是 $2$，没有元素能生成四个元素。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 也不循环：$⟨(a,b)⟩$ 只落在同一直线上的点 $(na,nb)$，无法同时产生 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。这两个反例分别说明有限群中要看元素阶，无限群中还要看独立方向。

“循环”不表示“有限”。无限循环群除单位元外没有有限阶元素；有限循环群则恰好由周期关系 $g^m=e$ 截断。也不要把“群中含有循环子群”误读为“群循环”：每个元素都生成一个循环子群，但它可能只占全群很小一部分。

循环群的每个子群仍循环。对无限情形，$\mathbb{Z}$ 的子群都是 $d\mathbb{Z}$；对 $G=⟨g⟩$、$|G|=m$，每个 $d\mid m$ 对应唯一的 $d$ 阶子群

证明时可在非平凡子群 $H$ 中选取使 $g^r\in H$ 的最小正整数 $r$，再用带余除法说明 $H=⟨g^r⟩$。由此还得到 $m$ 阶循环群的生成元数为 Euler 函数 $\phi (m)$。

Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。给出一个反向入口：若有限群 $G$ 的阶为素数 $p$，任取 $g\ne e$，子群 $⟨g⟩$ 的阶既大于 $1$ 又整除 $p$，只能等于 $p$，所以 $G$ 必循环。这个结论由群阶的算术推出，无需预先假定交换律。

循环群是有限生成阿贝尔群结构定理的基本因子，也是模算术、单位根与离散对数的标准载体。有限域的乘法群循环，使原根和 Diffie–Hellman 型构造可以用一个生成元表达；实际密码系统还必须在明确的群和大素数阶子群中分析，不能仅凭“循环”二字推断安全性。