形式陈述

群 $G$$G$ 称为循环群，当且仅当存在 $g\in G$$g\in G$ 使

$$ G=\langle g\rangle=\{g^n:n\in\mathbb Z\}. $$$$G=⟨g⟩=\{g^n:n\in \mathbb{Z}\}.$$

$g$$g$ 称为生成元。加法记号下写作 $G=\{ng:n\in\mathbb Z\}$$G=\{ng:n\in \mathbb{Z}\}$。若 $g$$g$ 的阶为 $m<\infty$$m<\mathrm{\infty }$，则 $\langle g\rangle$$⟨g⟩$ 恰有 $m$$m$ 个元素。

直觉

循环群的全部元素都由同一个基本动作反复执行或反向执行得到，因此其全局结构由一个元素的周期完全控制。

例子与边界

$(\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z},+)$ 由 $1$$1$ 或 $-1$$-1$ 生成；$\mathbb Z/6\mathbb Z$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 由 $\overline1$$\bar{1}$ 与 $\overline5$$\bar{5}$ 生成，而 $\overline2$$\bar{2}$ 只生成三元素子群。循环群必为阿贝尔群，但阿贝尔群未必循环，例如 $\mathbb Z\times\mathbb Z$$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 不能由单个元素生成。

推论与应用

无限循环群同构于 $(\mathbb Z,+)$$(\mathbb{Z},+)$，阶为 $m$$m$ 的有限循环群同构于 $\mathbb Z/m\mathbb Z$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$；循环群的每个子群仍是循环群。它们是模算术、有限域乘法子群和离散对数问题的基本模型。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004, §2.3.
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, §2.4.