欧拉函数

$\phi (n)$ 统计模 $n$ 下可逆的剩余类。每个不同素因子会排除其倍数，乘积公式正是对这些独立排除的计数。

把 $\phi (n)$ 看成单位群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 的阶，乘法公式就不再只是容斥巧合。若 $gcd(m,n)=1$，中国剩余定理公理库整数中国剩余定理Chinese remainder theorem for integers两两互素模数下的同余方程组在模其乘积意义下有唯一解。把模 $mn$ 的单位分解成模 $m$ 与模 $n$ 的单位对，因此单位数相乘。对素数幂$p^k$，非单位恰是 $p$ 的倍数，共有 $p^{k-1}$ 个，于是剩下 $p^k-p^{k-1}$ 个单位。

$\phi (p)=p-1$，$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$，而 $\phi (12)=4$，对应单位类 $1,5,7,11$。函数只在互素输入上乘法；例如$\phi (4)\phi (2)=2$，但 $\phi (8)=4$。定义区间可写 $1\le a\le n$ 或 $0\le a<n$，给出同一类数；通常约定$\phi (1)=1$。公式依赖素因数集合，不只是 $n$ 的大小。

对 $45=3^2\cdot 5$，容斥或乘积公式给出

也就是说，模 $45$ 的可逆剩余类正是既不被 $3$ 也不被 $5$ 整除的二十四个类。函数并不单射：

虽然 $15$ 与 $16$ 的素因数结构完全不同。因此从单位群大小通常不能唯一恢复模数。乘法公式 $\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$ 的稳定保证来自 $gcd(m,n)=1$ 与中国剩余分解；不互素时即便数值偶然相等，也不是该定理的应用。

Euler 函数给出 Euler 定理指数、RSA 群阶、循环群公理库循环群Cyclic group能由一个元素的全部整数次幂生成的群。生成元计数和 Farey 序列统计。Fermat 小定理公理库费马小定理Fermat's little theorem素数 p 与不被 p 整除的整数 a 满足 a^(p−1)≡1 mod p。推广为 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，前提是 $gcd(a,n)=1$。函数的乘法性可由整数中国剩余定理解释；它还用于循环群生成元计数、RSA 指数选择和恒等式 $\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$。