整除

整除表示一个数能由另一个数通过整数倍精确生成。它关注乘法结构，而不是大小；负号只是整数单位造成的相伴差异。“$a$ 整除 $b$”不是比较大小，而是询问 $b$ 是否落在由 $a$ 生成的倍数集合中。这个关系把乘法结构转化为偏序式语言：约数越“基本”，它生成的主理想反而越大。单位元整除所有元素，零只整除零；在一般整环中还要把相差一个单位的元素视为伴随元。

$3\mid 12$，但 $5\nmid 12$。任何非零整数都整除零，零却只整除零。$-3$ 与 $3$ 整除完全相同的一组整数。整除不自动与普通大小一致，例如$7\mid 7$，但 $7$ 不小于自身；负数时更无大小对应。若 $a\mid bc$，一般不能推出 $a\mid b$ 或 $a\mid c$，除非 $a$ 具有素性等额外条件。取消公共因子也需互素或整环条件。

在高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 中，

所以 $1+i\mid 2$；又因 $1-i=-i(1+i)$，二者只相差单位 $-i$，彼此整除，是一对伴随元。整除在相差单位的意义下才表现为真正的偏序。零因子会破坏熟悉的消去步骤：在 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中

但 $[1]\ne [5]$。因此从 $ac=bc$ 推出 $a=b$ 需要$c$ 可消去；在整环中非零 $c$ 可以，在一般环中则不能。

整除是 gcd、同余、素数分解和理想 $(a)$ 包含关系的基础语言。最大公因数公理库最大公约数Greatest common divisor · GCD同时整除两个整数且被所有公约数整除的非负整数。和 素元公理库素元Prime element整除乘积时必整除至少一个因子的非零非单位元素。都由整除关系定义，Euclid 算法公理库整数欧几里得算法Euclidean algorithm for integers反复使用带余除法计算最大公约数的有限算法。则计算其格结构中的最大公共下界。整除还把同余写成 $n\mid (a-b)$，并通过主理想把初等数论连接到交换代数。