形式陈述

对整数 $a,b$$a,b$，若存在整数 $c$$c$ 使

$$ b=ac, $$$$b=ac,$$

则称 $a$$a$ 整除 $b$$b$，记作 $a\mid b$$a\mid b$；否则记 $a\nmid b$$a\nmid b$。对任意 $a$$a$ 有 $a\mid0$$a\mid 0$，而 $0\mid b$$0\mid b$ 当且仅当 $b=0$$b=0$。整除具有传递性；若 $a\mid b$$a\mid b$ 且 $a\mid c$$a\mid c$，则 $a\mid xb+yc$$a\mid xb+yc$ 对任意整数 $x,y$$x,y$。在非零整数上，若 $a\mid b$$a\mid b$ 且 $b\mid a$$b\mid a$，则 $|a|=|b|$$|a|=|b|$，即二者只差单位 $\pm1$$\pm 1$。把符号限制到正整数后，整除成为偏序。

直觉

整除表示一个数能由另一个数通过整数倍精确生成。它关注乘法结构，而不是大小；负号只是整数单位造成的相伴差异。

例子与边界

$3\mid12$$3\mid 12$，但 $5\nmid12$$5\nmid 12$。任何非零整数都整除零，零却只整除零。$-3$$-3$ 与 $3$$3$ 整除完全相同的一组整数。整除不自动与普通大小一致，例如 $7\mid7$$7\mid 7$，但 $7$$7$ 不小于自身；负数时更无大小对应。若 $a\mid bc$$a\mid bc$，一般不能推出 $a\mid b$$a\mid b$ 或 $a\mid c$$a\mid c$，除非 $a$$a$ 具有素性等额外条件。取消公共因子也需互素或整环条件。

推论与应用

整除是 gcd、同余、素数分解和理想 $(a)$$(a)$ 包含关系的基础语言。

参考资料

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. 1, divisibility in the integers。
• Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991，Ch. 1, divisibility and elementary properties。