素元

“不可约”只检查能否把 $p$ 本身拆成两个非单位因子；“素”却检查所有乘积，只要 $p$ 整除乘积，就必须抓住其中一个因子。这是两种不同强度的要求。

唯一分解的比较正需要后一种能力：若一个素元出现在某种分解中，它也整除另一种分解的整个乘积，于是必整除其中一项。找到相伴因子并消去后，才可能继续比较余下的分解。

素元与不可约元的关系 ​

若素元 $p=ab$，素性给出 $p\mid a$ 或 $p\mid b$。第一种情况下写 $a=pc$，则 $p=pcb$；整环中 $p\ne 0$，消去得 $1=cb$，故 $b$ 是单位。另一种情况同理，因此素元必为不可约元理路不可约元Irreducible element非零非单位且不能分解为两个非单位乘积的整环元素。。

在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，$2$ 却不可约而非素。令 $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$，则 $N(uv)=N(u)N(v)$；非零元素的范数为 $1$ 当且仅当它是单位。若 $2=uv$ 且两因子均非单位，便须 $N(u)=N(v)=2$，但 $a^2+5b^2=2$ 无整数解，因此这种分解不存在。另一方面，

能被 $2$ 整除，两个因子却都不能：被 $2$ 整除的元素，其两个整数系数都应为偶数，而这两个因子的系数为 $1$ 和 $\pm 1$。

扩大底环会改变素性 ​

整数环的素元为正素数及其相反数。在高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中，映射 $a+bi\mapsto a+b(\mathrm{mod}2)$ 的核是 $(1+i)$：当 $a+b$ 为偶数时，

故 $\mathbb{Z}[i]/(1+i)\cong {\mathbb{F}}_2$，从而 $1+i$ 是素元。整数素数 $5$ 在这里不是素元，因为 $5=(2+i)(2-i)$ 且两因子的范数都是 $5>1$，均不是单位。若把整数环扩大到 $\mathbb{Q}$，$5$ 则有逆元 $1/5$，成为单位。

在唯一分解整环理路唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。中，不可约元与素元等价；主理想整环理路主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。是其中一类。建立唯一分解需要完成两件事：先证明每个非零非单位元能分解为有限个不可约元，再用素性把两种分解中的因子逐一配对。分解的存在性和唯一性在证明中各承担一步。

在唯一分解整环中，对固定素元 $p$，令 $v_p(a)$ 记录非零元素 $a$ 的分解中与 $p$ 相伴的因子个数。相乘时两组因子合并，所以 $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$。整除也可逐个素因子检查：对非零 $a,b$，$a\mid b$ 当且仅当所有素元的指数都满足 $v_p(a)\le v_p(b)$。