素元

素元不仅不能非平凡分解，还能从乘积的可整除公理库整除Divisibility存在整数倍关系时定义的二元关系。性中穿透到某个因子；这是唯一分解证明所需的强性质。素元的定义抓住“整除乘积便整除某个因子”的传递能力，这正是唯一分解证明真正需要的性质。不可约元只说自身不能非平凡拆分，素元则控制它作为约数穿过乘积；在一般整环中后者更强。把元素生成的主理想看成素理想，可把两种语言统一。

在 $\mathbb{Z}$ 中素元为 $\pm p$，正素数 $p$ 的 Euclid 引理正是素元定义。在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中 $2$ 不可约而非素，说明不可约不推出素。零与单位被排除，否则定义会退化。对含零因子的环，元素版素性与主素理想关系需要更谨慎，本条限于整环。素元与素理想不是同一层级对象：前者是元素，后者是理想；只有主理想时才直接对应。在高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 中，$1+i$ 是素元，因为

是整环。整数素数 $5$ 在这里却不是素元，因为 $5=(2+i)(2-i)$。这说明素性依赖底环，而“在较小环中是素数”不会自动保留到扩大的环中。对主元 $p$，用商环判据检查 $(p)$ 是否为素理想，往往比直接追踪所有乘积整除更方便。

素元控制因子穿透、唯一分解和素因子估值，并连接元素分解与理想理论。在 唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。 中，不可约元与素元等价；在 主理想整环公理库主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。 中这一性质由理想结构保证。素元控制整除链、赋值和因子分解，并与 素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。 的主理想特例相连。