形式陈述
设 $R$ 为整环。非零非单位元 $p$ 称为素元，若对任意 $a,b\in R$，
$$ p\mid ab\Longrightarrow p\mid a\ \text{或}\ p\mid b. $$等价地，主理想 $(p)$ 是非零素理想。素元必不可约：若 $p=ab$，由 $p\mid ab$ 可得 $p\mid a$ 或 $p\mid b$，结合整环消去可知另一因子为单位。在 PID 或更一般 UFD 中，不可约元也必为素元；在任意整环中逆命题可能失败。素性在相伴元之间保持。
直觉
素元不仅不能非平凡分解，还能从乘积的可整除性中穿透到某个因子；这是唯一分解证明所需的强性质。
例子与边界
在 $\mathbb Z$ 中素元为 $\pm p$，正素数 $p$ 的 Euclid 引理正是素元定义。在 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 中 $2$ 不可约而非素，说明不可约不推出素。零与单位被排除，否则定义会退化。对含零因子的环，元素版素性与主素理想关系需要更谨慎，本条限于整环。素元与素理想不是同一层级对象：前者是元素，后者是理想；只有主理想时才直接对应。
推论与应用
素元控制因子穿透、唯一分解和素因子估值，并连接元素分解与理想理论。
参考资料
- David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§8.3, prime and irreducible elements。
- Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, prime elements and principal prime ideals。
