形式陈述

设 $R$$R$ 为交换含幺环。真理想 $\mathfrak p\ne R$$\mathfrak{p}\ne R$ 称为素理想，若

$$ ab\in\mathfrak p\Longrightarrow a\in\mathfrak p\ \text{或}\ b\in\mathfrak p. $$$$ab\in \mathfrak{p}⟹a\in \mathfrak{p}\text{或}b\in \mathfrak{p}.$$

等价地，商环 $R/\mathfrak p$$R/\mathfrak{p}$ 是整环。零理想 $(0)$$(0)$ 为素理想当且仅当 $R$$R$ 本身为整环。每个极大理想都是素理想，但素理想不必极大。若 $\varphi:R\to S$$\phi :R\to S$ 是环同态且 $\mathfrak q\subseteq S$$\mathfrak{q}\subseteq S$ 为素理想，则逆像 $\varphi^{-1}(\mathfrak q)$${\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ 是素理想；像通常不保持素性。定义要求真理想，否则 $R/R$$R/R$ 为零环且乘积条件退化。

直觉

素理想把“乘积为零意味着某个因子为零”的整环性质拉回原环；对商掉该理想后的世界，它正是零元素的完整原像。

例子与边界

在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中，$(p)$$(p)$ 对素数 $p$$p$ 是素理想，$(6)$$(6)$ 不是，因为 $2\cdot3\in(6)$$2\cdot 3\in (6)$ 而两个因子都不在 $(6)$$(6)$。$(0)$$(0)$ 在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中素但不极大，说明素不必极大；在 $F[x]$$F[x]$ 中非零素理想由不可约多项式生成并且极大。$F[x,y]$$F[x,y]$ 中 $(x)$$(x)$ 是素理想，因为商同构于 $F[y]$$F[y]$，但不是极大，因为商不是域；$(x,y)$$(x,y)$ 才是极大。元素 $p$$p$ 为素元与主理想 $(p)$$(p)$ 为素理想在整环中对应，但一般素理想不必主生成。

推论与应用

素理想是代数簇不可约成分、环谱与局部化的点；其链和包含关系编码交换环的维数与几何结构。

参考资料

• M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chs. 1–3, prime ideals and quotient criteria。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part II, prime ideals, spectra, and quotient domains。