素理想处的局部化

素理想 $\mathfrak{p}$ 代表素谱公理库环的素谱Prime spectrum · Spec of a ring把交换环的全部素理想视为点，并以反变方式记录环同态的空间。中的一个点。在该点不消失的元素正是 $R\setminus \mathfrak{p}$，把它们全部变成可逆元，等于允许用“在该点附近非零的函数”作分母。分式 $a/s$ 因而不是函数在全空间的值，而是函数在 $\mathfrak{p}$ 附近的芽：只要两个表达式在某个更小邻域上一致，就视为同一个局部函数。

局部化会抹去不经过 $\mathfrak{p}$ 的素理想。扩张与收缩给出一一对应

其中 $\mathfrak{q}$ 对应 $\mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{p}}$。因此 $R_{\mathfrak{p}}$ 只保留能特化到 $\mathfrak{p}$ 的泛化点，而 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ 成为唯一闭点。这里的包含方向是 $\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}$，不是反向。

取 $R=\mathbb{Z}$、$\mathfrak{p}=(p)$，则

分母允许含除 $p$ 外的任意素因子。其唯一极大理想由 $p$ 生成，剩余域为 ${\mathbb{F}}_p$。例如在 ${\mathbb{Z}}_{(3)}$ 中，$2/5$ 是单位而 $6/5$ 不是；后者落在 $3{\mathbb{Z}}_{(3)}$ 中。

在 $k[x,y]$ 的点 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 处，

分母在原点非零，所以这些分式确实在原点附近有定义。若改在素理想 $(x)$ 处，分母只需不被 $x$ 整除；此时 $y$ 已成为单位，而唯一极大理想由 $x$ 生成。

一般不能把 $R_{\mathfrak{p}}$ 默认为 $R$ 的分式域子环。若 $R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 且 $\mathfrak{p}=(\overline{2})$，补集中含 $\overline{3}$，局部化后 $\overline{3}$ 成为单位，而 $\overline{3}\overline{2}=0$ 迫使 $\overline{2}$ 消失；规范映射有非零核，实际得到 ${\mathbb{F}}_2$。只有在整环等保证映射单射的情形，分式的通常子环图像才可靠。

局部环的剩余域可以直接从原环计算：

它记录在该谱点上取值所落入的域。素谱结构层的茎正是 $R_{\mathfrak{p}}$，因此局部化把拓扑上的“一点附近”翻译成完全代数的对象。

许多性质可以逐素理想检验。若 $M$ 是 $R$-模，则 $M=0$ 当且仅当每个 $M_{\mathfrak{p}}=0$；模同态是单射、满射或同构，也可在所有素理想处局部化后判断。局部化还是平坦的，因此模的局部化函子保持短正合列。维数方面，$R_{\mathfrak{p}}$ 的素理想链恰对应 $R$ 中终止于 $\mathfrak{p}$ 的链，故