形式陈述

交换环是在环 $(R,+,\cdot)$$(R,+,\cdot )$ 的基础上满足

$$ ab=ba\qquad(a,b\in R) $$$$ab=ba(a,b\in R)$$

的代数结构。本知识库沿用基础“环”条目的约定：乘法单位元不自动包含在环定义中；若存在单位元 $1$$1$，则称交换含幺环。

直觉

交换性允许乘积中的因子自由重排，使整数算术中的多项式、因式分解和理想运算能够推广。它不意味着每个非零元素都可除。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$、$\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 和任意域都是交换含幺环；偶整数 $2\mathbb Z$$2\mathbb{Z}$ 是交换但无单位元的环。矩阵环 $M_n(\mathbb R)$$M_n(\mathbb{R})$ 在 $n\ge2$$n\ge 2$ 时通常不交换。交换环中仍可有零因子，例如 $[2][3]=[0]$$[2][3]=[0]$ 在 $\mathbb Z/6\mathbb Z$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中成立。

推论与应用

交换环是整环、域、多项式环和交换代数的母结构。交换性使左右理想合一，并使素理想、谱和代数几何的局部化构造可用。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.1。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11。