交换环

交换性允许乘积中的因子自由重排，也消除了左理想与右理想的区别。整数算术中的因子、同余和多项式运算因而能在同一套语言中推广，素理想、局部化和代数簇等构造也获得统一形式。

$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 和任意域都是交换含幺环；偶整数 $2\mathbb{Z}$ 是交换但无单位元的环。矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$ 在 $n\ge 2$ 时通常不交换。交换环中仍可有零因子，例如$[2][3]=[0]$ 在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中成立。

乘积环 $F\times F$ 是交换含幺环，却不是整环，因为

商环 $F[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 也是交换环，其中非零元 $\epsilon$ 为幂零元。这两个例子分别说明交换性既不排除零因子，也不排除幂零元。交换环因此不自动是整环或域：前者还要排除非零零因子，后者还要让每个非零元素可逆。

交换环是整环、域、多项式环和交换代数的母结构。交换性使左右理想合一，并使素理想、谱和代数几何的局部化构造可用。理想公理库理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。在交换环中承担同余核的角色，素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。与 极大理想公理库极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。分别控制整环商与域商。多项式环、局部化和 Noether 环公理库Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。 都以交换性为基础，是代数数论与代数几何的共同语言。