交换环

整数和多项式中的许多计算都悄悄使用了交换因子次序。把交换性单独提出，可以准确判断哪些证明仍适用于矩阵，哪些步骤只有在交换环里才合法。

交换性让因子能够换位，消去因子还需要另一项性质。若 $ab=ac$，分配律给出 $a(b-c)=0$；当 $a$ 非零且不是零因子时，才由此得到 $b=c$。在含幺且 $1\ne 0$ 的交换环中，排除所有非零零因子便得到整环。

除法比消去更进一步：它要求能找到 $a$ 的乘法逆元。整数中可以消去非零因子，却找不到整数 $x$ 使 $2x=1$；有理数则提供了 $x=1/2$。要求每个非零元素都可逆，就从整环进入了域。

熟悉的交换环与零因子 ​

$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 和任意域都是交换含幺环。$2\mathbb{Z}$ 也交换，但没有乘法单位元，因为若 $e$ 是单位元，$2e=2$ 会迫使 $e=1\notin 2\mathbb{Z}$。

在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$[2][3]=[0]$，所以从 $[2]x=[0]$ 不能推出 $x=[0]$。在乘积环 $F\times F$ 中，运算逐坐标进行，因此

两例都有非零零因子，故都不是整环。第二例还说明即使每个坐标本身来自域，乘积结构也会破坏非零乘法消去律。

非零元素也可能平方为零 ​

在 $F[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 中，每个元素唯一写成 $a+b\epsilon$，其中 ${\epsilon }^2=0$，但 $\epsilon \ne 0$。乘法为

例如在实系数下，$(2+3\epsilon )(4-\epsilon )=8+10\epsilon$。这个环仍交换；它记录常数项和一次变化，同时把二次小量正式设为零。交换性并不排除这样的幂零元。

矩阵环 $M_2(\mathbb{R})$ 不交换。取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，乘积分别是 $AB=\mathrm{diag}(1,0)$ 与 $BA=\mathrm{diag}(0,1)$。组成矩阵的实数虽可交换，矩阵乘法的行列配合仍然取决于顺序。

在交换环中，若一个加法子群吸收左乘，即 $ra\in I$，交换性便同时给出 $ar\in I$。所以左、右、双边理想理路理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。重合，许多商构造不再需要区分方向。

对于交换含幺环 $R$，素理想理路素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。 $P$ 恰好使商 $R/P$ 成为整环，极大理想理路极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。 $M$ 恰好使商 $R/M$ 成为域。它们回答的分别是取商后能否消去非零因子、能否对每个非零元做除法。

从交换环出发，取多项式环、形式幂级数环或局部化，都能得到新的交换环。若再要求每个理想都有限生成，就得到交换代数中的Noether 环理路Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。：一组可能无限的多项式约束，可以由其中有限多个生成元表达。