极大理想

极大理想是还能保持非零商环的最大可压缩部分。再加入任何不在其中的元素，生成的理想就会成为全环；翻译到商环，这恰好表示每个非零剩余类都有逆元。因此“极大”说的是理想包含偏序中的极值，不是理想含有最多元素。

在 $\mathbb{Z}$ 中，极大理想恰为 $(p)$，其中 $p$ 为素数，商环为 ${\mathbb{F}}_p$。零理想在域中极大，在 $\mathbb{Z}$ 中则不极大，因为 $(0)⊊(2)⊊\mathbb{Z}$。

在 $F[x,y]$ 中，求值于 $(a,b)$ 的核 $(x-a,y-b)$ 是极大理想，商环为 $F$。若底域为 $\mathbb{R}$，还会出现 $(x^2+1,y)$，其商环是 $\mathbb{C}$。它不来自实平面中的坐标点，却同样是极大理想。

在高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中，理想 $(1+i)$ 是极大理想，因为映射

给出同构 $\mathbb{Z}[i]/(1+i)\cong {\mathbb{F}}_2$。相比之下，$(2)$ 不是极大理想：由于 $2$ 与 $(1+i{)}^2$ 只相差单位，存在严格包含

在商环 $\mathbb{Z}[i]/(2)$ 中，$1+i$ 的剩余类非零却平方为零，这也直接说明该商不是域。

对保幺同态 $\phi :R\to K$，其中 $K$ 为域，第一同构定理给出 $R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$。因此核总是素理想，而它是否极大取决于像是否为域。例如 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ 的核不极大；$\mathbb{Q}\hookrightarrow \mathbb{R}$ 虽非满射，核 $(0)$ 仍极大，因为像 $\mathbb{Q}$ 本身是域。

商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R/\mathfrak{m}$ 称为剩余域。对任意 $R$-模 $M$，商模 $M/\mathfrak{m}M$ 自然成为这个域上的向量空间：若两个标量相差 $\mathfrak{m}$ 中的元素，它们作用于 $M$ 的差便落在 $\mathfrak{m}M$ 中。例如 $R=\mathbb{Z}$、$\mathfrak{m}=(p)$ 时，$M/pM$ 可用 ${\mathbb{F}}_p$ 上的线性代数研究。

素理想理路素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。记录商环中的消去律，极大理想进一步给出域值。代数闭域上的 Hilbert 零点定理正是利用这一点，把有限型代数的极大理想识别为方程组的坐标点。