极大理想

极大理想是还能保持非零商环的最大可压缩部分。再加入任何不在其中的元素，生成的理想就会成为全环；翻译到商环，这恰好表示每个非零剩余类都有逆元。因此“极大”说的是理想包含偏序中的极值，不是理想含有最多元素。

在 $\mathbb{Z}$ 中极大理想恰为 $(p)$，$p$ 素数。$F[x,y]$ 中 $(x-a,y-b)$ 极大，商为 $F$；若 $F$ 非代数闭，极大理想不必都具有这一线性形式。$(0)$ 在域中极大，但在 $\mathbb{Z}$ 中不极大。$F[x,y]$ 的 $(x)$ 是素而非极大。极大性是理想偏序中的性质，不表示理想元素数目最大。零环没有真理想，故按标准定义没有极大理想；存在性定理需排除零环。极大理想的像在任意同态下未必极大，商映射和满射情形需单独使用对应定理。在高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中，理想 $(1+i)$ 是极大理想，因为映射

给出同构 $\mathbb{Z}[i]/(1+i)\cong {\mathbb{F}}_2$。相比之下，$(2)$ 不是极大理想：由于 $2$ 与 $(1+i{)}^2$ 只相差单位，存在严格包含

在商环 $\mathbb{Z}[i]/(2)$ 中，$1+i$ 的剩余类非零却平方为零，也直接说明该商不是域。检查极大性时，“商环是否为域”通常比在全部理想中逐一排除中间项更有效。

商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R/\mathfrak{m}$ 称为剩余域，它把一部分交换代数问题转成域上的线性问题。极大理想还用于局部化、Jacobson 根与 Nullstellensatz；与素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。相比，它对应的不是一般整环商，而是更强的域商。