形式陈述

交换含幺环 $R$$R$ 的真理想 $\mathfrak m$$\mathfrak{m}$ 称为极大理想，若不存在真理想 $I$$I$ 满足 $\mathfrak m\subsetneq I\subsetneq R$$\mathfrak{m}⊊I⊊R$。等价地，商环 $R/\mathfrak m$$R/\mathfrak{m}$ 是域：商中每个非零类 $a+\mathfrak m$$a+\mathfrak{m}$ 对应理想 $(\mathfrak m,a)$$(\mathfrak{m},a)$，极大性迫使其为全环，从而产生乘法逆元。每个极大理想都是素理想。借助 Zorn 引理，任意非零含幺环中的每个真理想都包含于某个极大理想；尤其每个非零含幺交换环至少有一个极大理想。环同态到域的核是素理想，只有同态满射时其核必极大。

直觉

极大理想是还能保持非零商环的最大可压缩部分；再加入任何不在其中的元素都会让商环塌成零，因此剩余非零元素全部可逆。

例子与边界

在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中极大理想恰为 $(p)$$(p)$，$p$$p$ 素数。$F[x,y]$$F[x,y]$ 中 $(x-a,y-b)$$(x-a,y-b)$ 极大，商为 $F$$F$；若 $F$$F$ 非代数闭，极大理想不必都具有这一线性形式。$(0)$$(0)$ 在域中极大，但在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中不极大。$F[x,y]$$F[x,y]$ 的 $(x)$$(x)$ 是素而非极大。极大性是理想偏序中的性质，不表示理想元素数目最大。零环没有真理想，故按标准定义没有极大理想；存在性定理需排除零环。极大理想的像在任意同态下未必极大，商映射和满射情形需单独使用对应定理。

推论与应用

极大理想给出环到域的点值、局部环的唯一闭点和 Jacobson 根；它们把交换代数问题化为剩余域上的线性问题。

参考资料

• M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969，Chs. 1–2, maximal ideals and residue fields。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part II, maximal ideals and quotient fields。