形式陈述

设 $R$$R$ 为环。子集 $I\subseteq R$$I\subseteq R$ 称为双边理想，若：

1. $(I,+)$$(I,+)$ 是 $(R,+)$$(R,+)$ 的子群；
2. 对所有 $r\in R$$r\in R$、$a\in I$$a\in I$，有 $ra\in I$$ra\in I$ 且 $ar\in I$$ar\in I$。

在交换环中两侧吸收条件相同。只要求 $ra\in I$$ra\in I$ 或只要求 $ar\in I$$ar\in I$ 分别得到左理想或右理想。含幺环的理想若包含 $1$$1$，则必为整个 $R$$R$。

直觉

理想不仅对加减封闭，还能吸收来自整个环的乘法。正是这种吸收性保证把理想中的元素视为“零”后，乘法仍不依赖陪集代表元。

例子与边界

$n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 的理想；事实上 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 的每个理想都有此形式。环 $R$$R$ 自身和 $\{0\}$$\{0\}$ 是平凡理想。子环不一定是理想，例如 $\mathbb Z\subset\mathbb Q$$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ 是子环，但 $\frac12\cdot1\notin\mathbb Z$$\frac{1}{2}\cdot 1\notin \mathbb{Z}$，故不吸收 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 的乘法。

推论与应用

理想是环同态的核，也是构造商环的准确对象。主理想、素理想与极大理想分别连接可生成性、整环商与域商；在非交换环中必须持续区分左、右和双边理想。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.3。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11。