环同态

环同态让加法、乘法表达式在两个环之间保持意义；保幺同态还让含常数 $1$ 的表达式保持同一解释。把这两个层级分开，可以同时容纳无幺环的自然包含映射，又避免在模、域与多项式环等需要单位元的场景漏掉条件。核记录哪些元素被压成零，而且这些元素与任意环元素相乘后仍被压成零，所以核是双边理想；像则是目标环中的子环。

自然投影 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是保幺环同态，核为 $n\mathbb{Z}$。映射 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$，$m\mapsto (m,0)$ 是环同态，却不是保幺环同态，因为 $(1,0)\ne (1,1)$。

对交换环 $R$ 与元素 $a\in R$，求值映射

是保幺环同态，其核由所有在 $a$ 处为零的多项式组成。复共轭 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 也是保幺环自同构。相反，整数平移 $n\mapsto n+1$ 不保持加法或乘法。在非交换环上做多项式求值时，还要另外检查系数的像与代入元素是否交换，不能直接套用上述交换环结论。

理想公理库理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。充当同态的核，商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。则把核所代表的差异消去，由此得到第一同构定理 $R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$。环同态还用于变量代入、坐标环以及标量限制与扩张。是否保单位元会改变允许的同态集合乃至所处范畴，因此必须明确写“环同态”或“保幺环同态”，不能隐含切换。