形式陈述

环同态是映射 $\varphi:R\to S$$\phi :R\to S$，满足对所有 $a,b\in R$$a,b\in R$，

$$ \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b), \qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b). $$$$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\phi (ab)=\phi (a)\phi (b).$$

它自动满足 $\varphi(0)=0$$\phi (0)=0$ 与 $\varphi(-a)=-\varphi(a)$$\phi (-a)=-\phi (a)$。在含幺环范畴中，本条采用常见的“幺环同态还要求 $\varphi(1_R)=1_S$$\phi (1_R)=1_S$”约定；若不要求保持单位元，必须显式说明。

其核 $\ker\varphi=\{a:\varphi(a)=0\}$$\ker \phi =\{a:\phi (a)=0\}$ 是双边理想，像是子环。

直觉

环同态是保持加法与乘法表达式意义的结构映射。核记录哪些元素被压成零，像记录目标中实际被表示出的环结构。

例子与边界

自然投影 $\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是幺环同态，核为 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$。映射 $\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z$$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$，$m\mapsto(m,0)$$m\mapsto (m,0)$ 保持加乘但不把 $1$$1$ 映到 $(1,1)$$(1,1)$；它在非幺同态约定下合法，在幺同态约定下不合法。

推论与应用

环第一同构定理给出 $R/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$$R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$。环同态用于变量代入、商映射、标量限制与代数对象分类；单位元约定会影响同态集合和范畴，不能隐含切换。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.3。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11。