环同态

同态允许把先运算后映射，换成先映射后运算。因而任何由加、减、乘构成的有限表达式，都能在两边得到一致结果；若表达式还显式使用常数 $1$，则要采用保幺同态。

核记录这种翻译丢掉的信息。更准确地说，$\phi (a)=\phi (b)$ 当且仅当 $a-b\in \ker \phi$，所以核不仅描述谁变成零，也描述哪些元素会被合并。像则是目标中实际到达的部分，未必覆盖整个目标环。

两种单位元约定 ​

取 $n\ge 2$，自然投影 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，$m\mapsto [m]$ 是保幺环同态，核为 $n\mathbb{Z}$。例如模 $6$ 时 $[8]=[2]$，正对应 $8-2\in 6\mathbb{Z}$。

映射 $m\mapsto (m,0)$ 从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 保加法与乘法，却将 $1$ 送到 $(1,0)$，与目标单位元 $(1,1)$ 不同。它的像以 $(1,0)$ 为单位元。一般地，两个含幺环之间的环同态总满足 $\phi (1_R{)}^2=\phi (1_R)$；若映射满射，则对任意 $s=\phi (r)$ 都有 $\phi (1_R)s=s=s\phi (1_R)$，故 $\phi (1_R)=1_S$。

求值映射与交换条件 ​

对交换含幺环 $R$ 与 $a\in R$，映射 ${\mathrm{ev}}_a:R[x]\to R$，$f\mapsto f(a)$ 是保幺环同态。恒等式 $x^k-a^k=(x-a)\sum _{j=0}^{k-1}{x}^{k-1-j}{a}^j$ 给出

例如在 $\mathbb{Z}[x]$ 中取 $a=2$，$x^2-4=(x-2)(x+2)$ 在核中，而 $x^2-3$ 的像为 $1$，不在核中。

非交换环上的多项式环 $R[x]$ 通常仍规定 $x$ 与系数交换，所以代入元素也要保持这条关系。例如取 $R=M_2(\mathbb{Q})$，令 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，则 $AB=B$、$BA=0$。固定所有矩阵系数并把 $x$ 送到 $A$，会把 $xB=Bx$ 的两边分别送到 $B$ 和 $0$，因此得不到环同态。

复共轭 $z\mapsto \overline{z}$ 保持加法、乘法和 $1$，且连续做两次得到原数，因而是保幺环自同构。整数平移 $m\mapsto m+1$ 则将 $0$ 送到 $1$，已不满足环同态的加法条件。

核为何是双边理想理路理想Ideal对加法成子群且吸收环乘法的子集。可以直接检查：若 $a,b$ 在核中，则 $\phi (a-b)=0$；对任意 $r\in R$，$\phi (ra)=\phi (r)0=0$ 且 $\phi (ar)=0\phi (r)=0$。于是能形成商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。，并定义

两个代表元相差核中的元素时具有相同的像，所以该映射良定义；像相等又说明代表元属于同一个陪集，因此映射单射。它还覆盖整个像，给出第一同构定理 $R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$。

保幺同态 $\phi :R\to S$ 还可把含幺左 $S$-模 $M$ 看成 $R$-模：定义 $r\cdot m=\phi (r)m$，称为标量限制。同态的加法、乘法规则保证模的分配律和结合律，而 $\phi (1_R)=1_S$ 保证 $1_R\cdot m=m$。