上卧定理

整扩张不会让基环中的素点凭空消失。整元素满足首一方程，因而扩张在每个基点上仍保留有限代数约束；即使一个点可能分裂、合并或带有重数，至少会有一个扩张环的素点收缩回它。上卧只保证“至少一个”，并不保证唯一，也不说明不同素点的分歧程度。

证明最清楚的做法是在 $\mathfrak{p}$ 处局部化。令 $S=A\setminus \mathfrak{p}$，则

仍是整扩张，且右侧非零。取 $S^{-1}B$ 的一个极大理想 $\mathfrak{n}$。整扩张下极大理想的收缩仍极大，而 $A_{\mathfrak{p}}$ 只有极大理想 $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$，故 $\mathfrak{n}\cap A_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$。把 $\mathfrak{n}$ 收缩回 $B$，便得到所求 $\mathfrak{q}$。

在整扩张 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[i]$ 中，每个整数素数 $(p)$ 都有素理想位于其上，但行为并不相同。由于 $5=(2+i)(2-i)$，

所以 $(5)$ 上有两个素理想；$x^2+1$ 在 ${\mathbb{F}}_3$ 上不可约，故 $(3)$ 在 $\mathbb{Z}[i]$ 中仍为素理想；而 $2$ 发生分歧，只有素理想 $(2,i-1)$ 位于其上。定理统一保证存在性，却允许分裂、惰性与分歧。

非整扩张会失败。包含 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$ 不是整扩张，$\mathrm{Spec}\mathbb{Q}$ 只有 $(0)$，其收缩也是 $(0)$；任何 $(p)\subseteq \mathbb{Z}$ 上都没有素理想。局部化 $A\to A_f$ 的谱像是主开集 $D(f)$，恰好删掉含 $f$ 的素点，这与整扩张的上卧行为形成鲜明对照。

即使上卧保证谱映射满射，它也未必单射。前述 $p=5$ 的两个高斯素理想收缩到同一个 $(5)$。上卧也不等于 going-up：前者提升单个素理想，后者在已经选定链首端的条件下继续提升整条素理想链。

若 $B$ 是域且在子环 $A$ 上整，那么 $A$ 也是域。对任意非零 $a\in A$，$a^{-1}\in B$ 在 $A$ 上整，满足

乘以 $a^{n-1}$ 可把 $a^{-1}$ 写成 $A$ 中元素，故 $a$ 可逆。反向地，若 $A$ 是域且 $B/A$ 整，则 $B$ 的每个素理想都是极大理想，因为其收缩为 $(0)$，而整域代数的相应商仍整于域。

上卧与 going-up 一起控制整扩张中的素理想链。对整扩张 $A\subseteq B$，基环的一条链可以在 $B$ 中从适当首点向上提升；反过来，不可比较定理保证 $B$ 中严格素理想链的收缩仍严格。因此

在正规化中，谱映射因而覆盖原空间：奇点可能被拆开，但不会让原空间的点失去原像。