整扩张

“首一”是整性的支点。方程最高次项系数为 $1$，才能把高次幂 $b^n$ 表成较低次幂的 $A$-线性组合，而无需除以一个可能不可逆的系数。于是整元素虽然可能不在 $A$ 中，却不会带来新的无限多项式方向；围绕它生成的代数在模意义下仍由有限个幂控制。

当 $A\subseteq B$ 都是域时，整性等同于通常的代数性，因为任意非零首项系数都可除掉。对一般环则差别显著：有理元素可能满足某个非首一方程，却仍不整。整扩张可视为“代数扩张”从域推广到环的正确形式，它保留素理想的存在与链结构，而不是简单保留元素数目。

高斯整数扩张 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[i]$ 是整扩张，因为 $i$ 满足首一方程 $T^2+1=0$，且每个 $a+bi$ 都在有限 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}[i]$ 中，因而整。尖点参数化

也是整扩张：$t$ 满足 $T^2-t^2=0$，其中系数 $t^2$ 属于基环；又 $k[t]=k[t^2,t^3]+tk[t^2,t^3]$，明显是有限模。

相反，$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[1/2]$ 不是整扩张。若 $1/2$ 满足整数系数首一方程，乘以适当的 $2$ 次幂会迫使一个奇数等于偶数；等价地，$\mathbb{Q}$ 中在 $\mathbb{Z}$ 上整的元素恰为整数。尽管 $2(1/2)-1=0$，该方程不是首一的，不能证明整性。

“整”也不等于“有限扩张”。代数闭包 $\bar{k}/k$ 是域的代数扩张，因而整，但若 $k$ 不是代数闭域且代数闭包次数无限，它不是有限维 $k$-向量空间。正确的有限性结论是：整且作为 $A$-代数有限生成，才推出作为 $A$-模有限生成。

整性还能逐点检测。元素 $b\in B$ 在 $A$ 上整，当且仅当对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$，它在 $B_{\mathfrak{p}}$ 中的像整于 $A_{\mathfrak{p}}$；有限个局部首一方程可在覆盖谱的有限组主开集上清除分母并拼回全局方程。这种局部性与“满足某个非首一方程”形成对照，后者没有同样稳定的有限模解释。

所有在 $A$ 上整的 $B$ 中元素组成子环，称为 $A$ 在 $B$ 中的整闭包。证明对和与积封闭时，可把两个整元素放进有限 $A$-模代数 $A[b,c]$，再对乘法算子使用 determinant trick；直接展开各自方程通常无法有效控制 $b+c$。

整性具有传递性：若 $A\subseteq B\subseteq C$，且 $B/A$、$C/B$ 都整，则 $C/A$ 整。它还在局部化和取商下保持。最重要的谱论后果是上卧定理：若 $B/A$ 整，则 $\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$ 满射；再结合 going-up，可把基环中的素理想链提升到扩张环。Noether 正规化则反向构造一个多项式子环，使有限生成域代数在其上整，从而把一般仿射代数压缩到可控的多项式模型。