整闭包

整闭包是在既定环境中补齐所有“应由首一方程属于基环”的元素。它不像分式域那样允许任意分母，而只接纳那些仍受有限模关系控制的分式。整闭整环则没有隐藏的整分式：只要一个分式满足 $A$ 系数首一方程，它其实已经在 $A$ 中。

几何上，非整闭坐标环常对应曲线的自交、尖点或参数缺失。把整闭包取出来会把这些由有限双有理映射造成的粘连解开，这一过程称为正规化。它通常保留函数域，却可能把一个奇异点拆成多个点或补上缺失的参数；因此“正规化”不是单纯改变方程写法。

$\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中整闭。若 $a/b\in \mathbb{Q}$ 以互素整数表示并满足首一整数方程，乘以 $b^n$ 后可推出 $b\mid a^n$，故 $b=\pm 1$。同理，唯一分解整环都是整闭整环，但反命题不成立：一般整闭 Noether 整环不必是唯一分解整环。

令

元素 $t$ 满足 $T^2-t^2=0$，所以在 $A$ 上整，而 $t\notin A$；$A$ 不是整闭的。其在 $k(t)$ 中的整闭包是 $k[t]$。这对应尖点 $y^2=x^3$ 的参数化 $x=t^2,y=t^3$：正规化后的仿射直线用参数 $t$ 解开尖点。

数论中，$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 中也不整闭。元素

满足 ${\alpha }^2-\alpha -1=0$，所以是整元素却不属于 $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$；完整整闭包为 $\mathbb{Z}[\alpha ]$。这里若把环境误写成 $\mathrm{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$，$\sqrt{5}$ 与 $\alpha$ 根本不在其中，结论便失去意义。

整闭与因子分解也不能画等号。唯一分解整环必整闭，因为首一方程可用不可约元赋值比较分子分母；但整闭只排除隐藏的整分式，并不要求每个高度一素理想为主理想。代数数论中的非主理想类正提供大量整闭而非唯一分解的整数环。

整闭性可以局部检验。对整环 $A$，

并且若 $\bar{A}$ 是 $A$ 在某个扩域中的整闭包，乘法集 $S\subseteq A$ 满足

右侧是在相应局部化扩域中的整闭包。证明反向包含时需清除整方程系数的有限多个分母，不能只说“局部化显然交换”。

正规性是代数几何和代数数论的共同语言：正规仿射整概形对应整闭整环，数域的整数环是 $\mathbb{Z}$ 在该数域中的整闭包。需要注意，整闭包的有限生成性不是对任意 Noether 整环和任意有限域扩张自动成立；对有限生成域代数、优秀环或 Japanese 环等类别才有相应有限性定理。把这一额外结论当作整性的形式后果，会漏掉重要反例。