整环

整环从 $\mathbb{Z}$ 中提炼出的核心性质是"非零乘非零仍非零"——也就是说，中学代数里反复使用的推理"乘积为零，则某个因子为零"在这类环里合法。这条性质与消去律互为表里：$ab=ac$ 即 $a(b-c)=0$，只有在没有零因子时才允许把非零的 $a$ 消去。要注意消去不等于除法：整环保证方程 $ax=b$（$a\ne 0$）至多有一个解，却不保证有解，$\mathbb{Z}$ 中 $2x=3$ 就无解——可逆是域才有的奢侈品。零因子破坏的远不止一条等式：它会让多项式的根失控、让整除与分解的讨论无从下手，所以可除性与因式分解理论一律以整环为默认舞台。

$\mathbb{Z}$ 是原型；域上的多项式环公理库多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。 $F[x]$ 与 Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 也是整环。若域 $F$ 的子环 $S$ 含有与 $F$ 相同的单位元 $1_F$，则 $S$ 是整环：它从域继承交换含幺结构，而且 $ab=0$、$a\ne 0$ 时可在 $F$ 中乘 $a^{-1}$ 得 $b=0$，故没有零因子。这里的含幺条件不能隐去，因为本库允许讨论非含幺环；例如 $2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ 对加减乘封闭，是这种约定下的非含幺子环，却不满足本页对整环的含幺要求。但整环未必是域：$2$ 在 $\mathbb{Z}$ 中没有乘法逆元，$x$ 在 $F[x]$ 中同样没有。

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是整环，因为 $[2][3]=[0]$。零因子的杀伤力可以直接算出来：在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，二次多项式 $x^2-x$ 竟有 $0,1,3,4$ 四个根，因为 $x(x-1)=0$ 不再迫使某个因子为零；而在整环上，$n$ 次多项式至多 $n$ 个根。一般地，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是整环当且仅当 $n$ 为素数，此时它更是域 ${\mathbb{F}}_p$。直积环也总出问题：$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 中 $(1,0)(0,1)=(0,0)$，故带非平凡直积分解的环从来不是整环。

条件 $1\ne 0$ 专门排除只有一个元素的零环；个别文献在此约定上有出入，本库把零环排除在整环之外。矩阵环 $M_2(\mathbb{R})$ 则把两条假设都破坏了：它不交换，且 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 的平方为零，幂零元是最典型的零因子。

整环的第一批下游结论都围绕"乘法可控"展开。系数取自整环时多项式次数满足 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$，由此 $R$ 是整环则 $R[x]$ 也是整环，且根的个数不超过次数。整环恰好是能嵌入域的交换环：把全体非零元取作分母对 $R$ 作局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。，便得到分式域——$\mathbb{Z}$ 给出 $\mathbb{Q}$，$F[x]$ 给出有理函数域 $F(x)$——它是包含 $R$ 的最小的域。有限整环必为域：对非零 $a$，映射 $x\mapsto ax$ 由消去律是单射，有限集上的单射自动是满射，故 $1$ 落在像中，$a$ 可逆。用理想的语言翻译：$R$ 是整环当且仅当 $\{0\}$ 是素理想公理库素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。，更一般地 $R/P$ 是整环当且仅当 $P$ 素。整环的特征公理库域的特征Characteristic of a field单位元反复相加首次得到零的最小正整数，若不存在则为零。只能是 $0$ 或素数。因式分解理论的整条阶梯——Euclid 整环、主理想整环、唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。——全部生长在整环这块地基上。