整环

整环从 $\mathbb{Z}$ 中提炼出的核心性质是“非零乘非零仍非零”。中学代数里常用的推理“乘积为零，则某个因子为零”，在这类环里合法。这条性质与消去律互为表里：$ab=ac$ 等价于 $a(b-c)=0$，没有零因子时便能消去非零的 $a$。

对方程 $ax=b$（$a\ne 0$），消去律保证解的唯一性：若 $x,y$ 都是解，则 $ax=ay$，从而 $x=y$。解是否存在则取决于 $b$ 是否为 $a$ 的倍数。例如 $\mathbb{Z}$ 中 $2x=3$ 无解；在域中，非零元还具有逆元，于是每个 $b$ 都对应解 $x=a^{-1}b$。

$\mathbb{Z}$ 是整环的原型；域上的多项式环理路多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。 $F[x]$ 与 Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 也是整环。若域 $F$ 的子环 $S$ 含有 $1_F$，则 $S$ 继承交换含幺结构，而且 $ab=0$、$a\ne 0$ 时可在 $F$ 中乘 $a^{-1}$ 得 $b=0$，所以 $S$ 是整环。例如 $\mathbb{Z}[i]\subset \mathbb{C}$ 就能这样验证。

只对加减乘封闭的子集可能没有单位元。例如 $2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ 没有零因子，但若其中有乘法单位元 $e$，就应满足 $e\cdot 2=2$，迫使 $e=1\notin 2\mathbb{Z}$。因此 $2\mathbb{Z}$ 是非含幺子环，不是整环。

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中 $[2][3]=[0]$，所以它不是整环。零因子还改变了多项式的根数：二次多项式 $x^2-x$ 在这里有 $0,1,3,4$ 四个根，因为 $x(x-1)=0$ 可以由两个非零因子的乘积产生。对整数 $n\ge 2$，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是整环当且仅当 $n$ 为素数，此时它是域 ${\mathbb{F}}_n$。

直积和矩阵给出另外两种产生零因子的方式：$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 中 $(1,0)(0,1)=(0,0)$；$M_2(\mathbb{R})$ 中非零矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 满足 $A^2=0$。矩阵环同时也不满足交换律。

整环上的非零多项式满足 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$，因为两个首项系数的乘积不会消失。因此 $R[x]$ 仍是整环；配合因式定理逐次除去线性因子，还得到非零多项式的根数不超过次数。

非零交换含幺环 $R$ 是整环，当且仅当它能保幺嵌入某个域。构造方向是把全体非零元取作分母，对 $R$ 作局部化理路环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。：$r\mapsto r/1$ 保幺且单射，每个非零分式 $a/b$ 都有逆 $b/a$，所得域称为分式域。$\mathbb{Z}$ 给出 $\mathbb{Q}$，$F[x]$ 给出有理函数域 $F(x)$。若 $R$ 已是某个域的含幺子环，所有这样的分式便组成其中包含 $R$ 的最小子域。

有限整环必为域：对非零 $a$，映射 $x\mapsto ax$ 由消去律是单射，有限集上的单射又是满射，故存在 $x$ 使 $ax=1$。整环的特征理路域的特征Characteristic of a field单位元反复相加首次得到零的最小正整数，若不存在则为零。也只能是 $0$ 或素数；若最小的正特征 $n=uv$ 为合数，则非零的 $u1$ 与 $v1$ 相乘为零，产生矛盾。

在交换含幺环中，$R$ 是整环当且仅当 $\{0\}$ 是素理想理路素理想Prime ideal商环为整环，等价地乘积落入该理想便至少有一因子落入其中的真理想。；更一般地，$R/P$ 是整环当且仅当 $P$ 素。继续对整环增加除法或因式分解条件，便得到 Euclid 整环、主理想整环和唯一分解整环理路唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。