形式陈述

整环是交换含幺环 $R$$R$，满足 $1\ne0$$1\ne 0$，且没有非平凡零因子：

$$ ab=0\quad\Longrightarrow\quad a=0\ \text{或}\ b=0. $$$$ab=0⟹a=0\text{或}b=0.$$

等价地，对任意 $a\ne0$$a\ne 0$，乘法消去律成立：

$$ ab=ac\quad\Longrightarrow\quad b=c. $$$$ab=ac⟹b=c.$$

每个域都是整环，但整环中的非零元素不必可逆。

直觉

整环保留整数乘法最关键的“非零乘非零仍非零”性质，因此可以安全消去非零因子，却未必能在环内完成除法。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 与 $F[x]$$F[x]$（$F$$F$ 为域）是整环；$\mathbb Z/6\mathbb Z$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是，因为 $[2][3]=[0]$$[2][3]=[0]$。$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 不是域，因为 $2$$2$ 没有整数乘法逆元。要求 $1\ne0$$1\ne 0$ 排除只有零元素的零环；不同教材是否把零环算整环需明确。

推论与应用

整环可嵌入其分式域，支持多项式次数加法与因式分解理论。有限整环必为域：对非零 $a$$a$，乘法映射 $x\mapsto ax$$x\mapsto ax$ 单射，有限性使其满射，从而存在逆元。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，§7.1。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11。