算术基本定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

算术基本定理断言：每个整数 $n>1$ 都能写成素数乘积

n=p_1p_2\cdots p_k,

并且除去因子次序后表示唯一。等价地，存在唯一有限支撑指数族 $(v_p(n))_p$ ，使

n=\prod_{p\ \mathrm{prime}}p^{v_p(n)}.

存在性可由对 $n$ 的强归纳证明：若 $n$ 非素，则分解为更小正整数。唯一性使用 Euclid 引理：素数整除乘积时整除某一因子。对非零整数再乘单位 $\pm1$ 即得完整形式。

直觉

正整数的乘法结构由素数坐标完全编码；每个素数的指数像一个独立坐标，乘法对应指数相加。素数是乘法世界的不可再分解构件。定理的存在部分说明不断拆分合数必会停在素数；唯一性部分则依赖 Euclid 引理：素数若整除一个乘积，就整除某个因子。排序并忽略单位后，整数的乘法结构因此可由素指数向量精确编码。

例子与边界

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ ，任何另一种素数分解都只能重排这些因子。 $1$ 的素因子分解是空乘积；不能把 $1$ 视为素数，否则可任意插入 $1$ 破坏唯一性。扩展到负整数时还要额外提出单位 $-1$ ，而 $0$ 没有有限素因数分解，因为每个素数都整除零。定理属于整数或更一般 UFD 的性质，并非每个整环都有唯一分解：一般整环中的不可约元未必是素元，某些二次整数环就会出现不同的不可约分解。素数无穷性与唯一分解相关，但不是同一个命题。

推论与应用

存在性证明可用数学归纳法：若整数不是素数，就分解成更小的正整数，再对两个因子应用归纳假设；唯一性部分则由 Euclid 引理逐个消去素因子。归纳负责终止分解，消去律负责证明结果不依赖分解路径。

算术基本定理使 gcd、lcm、约数函数、同余和乘法函数可逐素数计算。唯一分解让整除、gcd、lcm 和约数个数都转化为素指数的逐坐标运算。它是唯一分解整环概念的整数原型，并支撑有理数标准表示、同余论和大量数论算法。

参考资料

Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. 1, unique factorization of integers。
Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991，Ch. 1, Fundamental Theorem of Arithmetic。

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