形式陈述

算术基本定理断言：每个整数 $n>1$$n>1$ 都能写成素数乘积

$$ n=p_1p_2\cdots p_k, $$$$n=p_1{p}_2\cdots p_k,$$

并且除去因子次序后表示唯一。等价地，存在唯一有限支撑指数族 $(v_p(n))_p$$(v_p(n){)}_p$，使

$$ n=\prod_{p\ \mathrm{prime}}p^{v_p(n)}. $$$$n=\prod _{p\mathrm{prime}}{p}^{v_p(n)}.$$

存在性可由对 $n$$n$ 的强归纳证明：若 $n$$n$ 非素，则分解为更小正整数。唯一性使用 Euclid 引理：素数整除乘积时整除某一因子。对非零整数再乘单位 $\pm1$$\pm 1$ 即得完整形式。

直觉

正整数的乘法结构由素数坐标完全编码；每个素数的指数像一个独立坐标，乘法对应指数相加。

例子与边界

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$。$1$$1$ 的素因子分解是空乘积，不把 $1$$1$ 视为素数，否则可任意插入 $1$$1$ 破坏唯一性。零没有有限素因子分解，因为每个素数都整除零。唯一性只忽略排列；扩展到整数还要忽略单位 $-1$$-1$。定理属于整数或更一般 UFD 的性质，并非每个整环都有唯一分解。素数无穷性与唯一分解相关但不是同一命题。

推论与应用

算术基本定理使 gcd、lcm、约数函数、同余和乘法函数可逐素数计算。

参考资料

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. 1, unique factorization of integers。
• Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991，Ch. 1, Fundamental Theorem of Arithmetic。