形式陈述

在含幺环 $R$$R$ 中，元素 $u$$u$ 称为单位，若存在 $v\in R$$v\in R$ 使 $uv=vu=1$$uv=vu=1$；这样的 $v$$v$ 唯一，记为 $u^{-1}$$u^{-1}$，全部单位组成群 $R^\times$$R^{\times }$。在交换环中，非零元素 $a$$a$ 称为零因子，若存在非零 $b$$b$ 使 $ab=0$$ab=0$。非交换环需区分左、右零因子；此处采用双边交换情形的常用定义。若 $R$$R$ 是非零环，单位不可能是零因子。整环正是无非零零因子的交换含幺环。部分文献把 $0$$0$ 也计入零因子，使用时需说明；本库采用“零因子非零”的约定。

直觉

单位可以在乘法中完整消去，零因子却会把非零信息压成零；两者分别代表乘法最可逆与最退化的元素。

例子与边界

在 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 中单位只有 $\pm1$$\pm 1$，没有非零零因子。在 $\mathbb Z/8\mathbb Z$$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中，$1,3,5,7$$1,3,5,7$ 是单位，$2,4,6$$2,4,6$ 是零因子，例如 $2\cdot4=0$$2\cdot 4=0$。一般在 $\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中，$[a]$$[a]$ 是单位当且仅当 $\gcd(a,n)=1$$gcd(a,n)=1$；非零非单位在此有限交换环中都是零因子，但该结论对任意无限环不成立，如 $2\in\mathbb Z$$2\in \mathbb{Z}$ 既非单位也非零因子。零环中 $0=1$$0=1$ 会使“单位与零因子不交”等说法失去通常含义，因此许多教材排除零环或单独处理。

推论与应用

单位控制局部化、可逆矩阵和同伴关系；零因子决定消去律失败、素理想结构和线性方程异常，是区分域、整环与一般环的第一道边界。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 7, units, zero divisors, and integral domains。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 11, rings, units, and zero divisors。