单位与零因子

固定 $a$，观察乘法映射 $x\mapsto ax$。若 $a$ 是单位，这个映射有逆 $x\mapsto a^{-1}x$，每个输出都能唯一还原。若 $a$ 是非零零因子，则某个非零 $b$ 与零都映到零，乘法失去单射性，消去律因此失败。

两类元素不会重合：若单位 $u$ 满足 $ub=0$，左乘 $u^{-1}$ 就得到 $b=0$。但它们并未分完所有非零元素；乘以 $2$ 的整数映射是单射，却到不了奇数，所以 $2\in \mathbb{Z}$ 既不是单位，也不是零因子。

在 $\mathbb{Z}$ 中，单位只有 $\pm 1$，没有零因子。在 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中，$[1],[3],[5],[7]$ 都是单位，各自的平方等于 $[1]$；$[2],[4],[6]$ 是零因子，因为它们与非零的 $[4]$ 相乘都得到 $[0]$。

一般地，对 $n\ge 2$，$[a]\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 可逆当且仅当最大公因数理路最大公约数Greatest common divisor · GCD同时整除两个整数且被所有公约数整除的非负整数。 $gcd(a,n)=1$，逆元可由 Bézout 等式求出。若 $[a]\ne [0]$ 且 $d=gcd(a,n)>1$，则 $1\le n/d<n$，而 $a(n/d)$ 是 $n$ 的倍数，所以非零类 $[n/d]$ 见证 $[a]$ 为零因子。

矩阵环给出一个与剩余类环不同的零因子图景。设 $F$ 为域，并在 $M_2(F)$ 中取

二者都非零，却有 $AB=BA=0$，所以同时见证了两侧的零因子关系。一般地，$M_n(F)$ 中的单位恰是行列式非零的矩阵。若 $A$ 是非零奇异矩阵，选 $Av=0$ 的非零列向量 $v$，将它放进某个矩阵 $B$ 的一列、其余列取零，就有 $B\ne 0$ 且 $AB=0$。对非零行向量 $w$ 满足 $wA=0$ 作同样构造，还可得到 $C\ne 0$ 且 $CA=0$。零矩阵本身则按这里的定义不列为零因子。

对于非零交换含幺环，没有零因子就得到整环理路整环Integral domain含单位元 1≠0、无零因子的交换环。，每个非零元素都是单位则得到域理路域Field非零元素在乘法下均可逆的交换环。。前者保证乘以非零元素可消去，后者还保证每个目标值都能通过除法达到。

在交换含幺环中，单位也给出分解中的相伴关系：$a=ub$ 且 $u$ 可逆时，$a,b$ 彼此整除，生成同一个主理想。于是讨论不可约分解时，可将单位移入或移出因子，而把相伴因子看作同一种因子。