PID 上有限生成模结构定理

形式陈述 ​

设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是有限生成 $R$-模。存在唯一的非负整数 $r$，以及满足

$$0\ne d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_t,$$

的非单位元 $d_i\in R$，使

$$M\cong R^r\oplus R/(d_1)\oplus \cdots \oplus R/(d_t).$$

这里唯一性指 $r$ 唯一、每个 $d_i$ 在乘以单位元的相伴关系下唯一；它不声称 $M$ 内部存在一组唯一的具体直和子模。$R^r$ 是自由部分，后面的有限直和是挠部分。

若把每个 $d_i$ 分解为素元幂，并使用互素理想的中国剩余定理，还得到初等因子分解

$$M\cong R^r\oplus \underset{j}{⨁}R/(p_j^{a_j}),$$

其中素元幂的多重集在相伴意义和排列意义下唯一。

证明骨架如下。取有限生成满射 $R^n\twoheadrightarrow M$，核 $K\le R^n$。PID 上自由模的子模仍自由，而 PID 是 Noether 环，所以 $K$ 有有限基。把嵌入 $K\hookrightarrow R^n$ 写成矩阵，对它应用Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。；更换 $K$ 与 $R^n$ 的基后，关系矩阵成为满足整除链的对角矩阵。取余核便得到上述分解，行列式因子则保证不变因子的唯一性。

直觉 ​

有限生成模可以由有限个生成元和有限组关系呈示。Smith 正规形把彼此纠缠的关系改写为互不干扰的单变量关系 $d_i{e}_i=0$；没有被任何非零标量杀掉的方向留下自由副本 $R$，其余方向各自形成循环挠模 $R/(d_i)$。

不变因子形式按整除链把关系从弱到强排列，初等因子形式则按素元分解展示每个“素方向”的局部结构。两种分解不是两个不同定理，而是同一结构经中国剩余定理得到的两种坐标。

例子与边界 ​

作为 $\mathbb{Z}$-模，令

$$M={\mathbb{Z}}^3/⟨(2,0,0),(0,6,0)⟩.$$

关系矩阵已经是 Smith 形，且 $2\mid 6$，所以

$$M\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.$$

再由 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，得到初等因子形式

$$M\cong \mathbb{Z}\oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2\oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$

有限生成不可删除：$\mathbb{Q}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模无挠，却不是自由阿贝尔群，也不具有上述有限分解。PID 假设同样实质：在 $k[x,y]$ 上，理想 $(x,y)$ 是有限生成无挠秩一模，却不是自由秩一模，因为它不是主理想。最后，分解唯一不意味着选出的生成元唯一；对 ${\mathbb{Z}}^2$ 作任意可逆整数换基都会给出不同的自由直和坐标。

推论与应用 ​

取 $R=\mathbb{Z}$，定理立即给出有限生成阿贝尔群结构定理公理库有限生成阿贝尔群结构定理Structure theorem for finitely generated abelian groups每个有限生成阿贝尔群唯一分解为自由部分与有限循环素幂部分。。有限阿贝尔群正是 $r=0$ 的情形，其同构类型可由不变因子或各素数的初等因子完全记录。

取 $R=F[x]$，让 $x$ 作用为有限维向量空间上的线性算子 $T$，便把线性算子视为有限生成挠 $F[x]$-模。结构定理的循环因子对应有理标准形，素幂因子再经多项式分解连接主分解与 Jordan 理论。另一个直接推论是：PID 上有限生成无挠模必自由；“有限生成”和“PID”正是该结论不能向一般模推广时最先要检查的条件。

参考资料

• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002, chapter on modules over principal ideal domains.
• The Stacks Project, sections on finite modules over a principal ideal domain and elementary divisors.