商模

商模把子模 $N$ 中的方向统一视为零，只保留模 $M$ 沿这些方向之外的差异。两个元素代表同一商类，当且仅当它们的差属于 $N$；子模对加法与标量作用封闭，正好保证商类上的两种运算不依赖代表元。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}$ 对子模 $n\mathbb{Z}$ 的商。向量空间 ${\mathbb{R}}^2/\mathrm{span}(e_1)$ 把水平差异忽略，只保留竖直坐标，并同构于 $\mathbb{R}$。若子集 $S$ 不是子模，标量乘可能依赖代表元，不能形成商模。陪集 $m+N$ 本身是集合，不应与代表元 $m$ 混同；等式 $m+N=m^{\prime }+N$ 当且仅当 $m-m^{\prime }\in N$。商模维数公式 $\dim (M/N)=\dim M-\dim N$ 只在有限维向量空间或相应秩条件下成立，对一般模无统一维数。

取 $M={\mathbb{Z}}^2$ 与子模 $N=2\mathbb{Z}\times \{0\}$。映射

的核正是 $N$，于是

这个商模同时保留一个自由方向并产生一个挠方向，说明一般模的商不能只用“维数相减”理解。若拿非子模的子集取商，加法或标量乘法会依赖代表元，运算便没有良定义。

商模编码“加入线性关系”。规范映射 $M\to M/N$ 的核为 $N$，模同态公理库模同态Module homomorphism同时保持加法与标量乘法的模之间映射。第一同构定理据此把任意像写成核的商；对任意 $f:M\to P$，取 $N=\mathrm{im}f$ 就得到余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。。典型的短正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。

同时组织子模、母模与商模。这个商是否能由同态选回 $M$，正是分裂正合列公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。所检验的额外条件；商模本身并不提供这样的截面。有限呈示模是自由模按关系子模取商，在 PID 上可用Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。计算，并由结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。分解其自由与挠部分。