形式陈述

设 $N\le M$$N\le M$ 为左 $R$$R$-子模。商模 $M/N$$M/N$ 的元素是加法陪集 $m+N$$m+N$，运算定义为

$$ (m+N)+(m'+N)=(m+m')+N, \qquad r(m+N)=rm+N. $$$$(m+N)+(m^{\prime }+N)=(m+m^{\prime })+N,r(m+N)=rm+N.$$

子模对加法和标量封闭保证这些定义与代表元无关。规范投影 $\pi:M\to M/N$$\pi :M\to M/N$ 是满模同态，核为 $N$$N$。它满足泛性质：若模同态 $f:M\to P$$f:M\to P$ 在 $N$$N$ 上为零，则存在唯一 $\bar f:M/N\to P$$\overline{f}:M/N\to P$ 使 $f=\bar f\circ\pi$$f=\overline{f}\circ \pi$。因为模的加法群阿贝尔，任意子模作为加法子群自动正规，不需额外正规性条件。

直觉

商模把相差一个 $N$$N$ 中元素的向量视为同一个；它保留的是忽略指定方向或关系后剩余的线性信息。

例子与边界

$\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$-模 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 对子模 $n\mathbb Z$$n\mathbb{Z}$ 的商。向量空间 $\mathbb R^2/\operatorname{span}(e_1)$${\mathbb{R}}^2/\mathrm{span}(e_1)$ 把水平差异忽略，只保留竖直坐标，并同构于 $\mathbb R$$\mathbb{R}$。若子集 $S$$S$ 不是子模，标量乘可能依赖代表元，不能形成商模。陪集 $m+N$$m+N$ 本身是集合，不应与代表元 $m$$m$ 混同；等式 $m+N=m'+N$$m+N=m^{\prime }+N$ 当且仅当 $m-m'\in N$$m-m^{\prime }\in N$。商模维数公式 $\dim(M/N)=\dim M-\dim N$$\dim (M/N)=\dim M-\dim N$ 只在有限维向量空间或相应秩条件下成立，对一般模无统一维数。

推论与应用

商模编码“加入线性关系”，支撑第一同构定理、余核、短正合列和模的生成—关系呈示。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, quotient modules and homomorphism theorems。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, factor modules and universal property。