商集

商集把等价关系指定的差异视为可以忽略，把被视为等价的对象压缩成一个新元素；这个元素是一整个等价类，计算时选取的代表元只是描述方式。规范映射把原对象送到所属类，因而是满射；原集合中的细节被压缩，但类别之间仍保持区分。只有等价关系才能保证各类不重叠并覆盖全集，而商集上的定义还必须与代表元选择无关。

整数按模 $n$ 同余得到 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。若 $a\sim b$，则 $[a]=[b]$；若不等价，则两个类不交。任意关系的“类”可能重叠，不能自动形成商集。

可把非零分母的整数对 $(a,b)$ 按

取商，每个等价类表示一个有理数。例如 $(1,2)$、$(2,4)$ 与 $(-3,-6)$ 属于同一类。要在商集上定义加法，必须验证换代表元后结果仍在同一等价类中；这一步不是商集定义自动赠送的。若原关系缺少传递性，例如实数上“距离小于 $1$”，所谓类别会重叠，不能形成真正的划分。

商构造通过消除冗余表示产生模算术、商群、商环、商空间和语法等价类。等价关系公理库等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。与划分一一对应；函数公理库函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。若在每个等价类上取同值，便唯一下降到商集。语法的 α-等价公理库α-等价Alpha-equivalence · α-equivalence忽略绑定变量的具体名字、只保留作用域与绑定结构的等价关系。等应用，都是在这副集合论骨架上增加相容结构，而所有商上运算都必须证明结果不依赖代表元。