商集

取商先声明哪些差异不再区分，再把所有被视为相同的对象合成一个新对象。例如把整数只按余数区分后，$1$、$4$、$-2$ 在模 $3$ 的世界里成为同一个元素。保留下来的信息是“属于哪一类”，原来的具体整数被遗忘。

计算时常选一个代表写公式，但同一类可以换代表。公式若因换代表而给出不同答案，就只是在原集合上运算，并没有定义商集上的运算。这个检查称为良定义性，是从集合取商进入代数商结构时必须补上的一步。

三个余数类与一个失败定义 ​

在整数上定义 $a\sim b$ 当且仅当 $3\mid (a-b)$，得到

类加法 $[a]+[b]=[a+b]$ 与代表无关：若 $a^{\prime }=a+3r$、$b^{\prime }=b+3s$，则 $a^{\prime }+b^{\prime }=(a+b)+3(r+s)$，故 $[a^{\prime }+b^{\prime }]=[a+b]$。例如 $[2]+[2]=[4]=[1]$。

但 $h([a])=a$ 不能定义从商集到整数的函数，因为 $[1]=[4]$ 却会同时要求输出 $1$ 与 $4$。若改为“取该类中唯一属于 $\{0,1,2\}$ 的整数”，就定义了函数 $s:\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$。例如 $s([4])=1$，因为 $[4]=[1]$。它满足 $\pi (s([a]))=[a]$，但 $s(\pi (4))=1\ne 4$；选代表能返回正确的类，却恢复不了被投影遗忘的原整数。

用整数对构造有理数 ​

在 $S=\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2:b\ne 0\}$ 上规定

例如 $(1,2)$、$(2,4)$、$(-3,-6)$ 同类，表示一个有理数。传递性的关键是分母非零：若 $ad=bc$、$cf=de$，则 $adf=bcf=bde$，可消去非零 $d$ 得 $af=be$。

加法规定为 $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$。若换成等价代表 $(a^{\prime },b^{\prime })$、$(c^{\prime },d^{\prime })$，有 $a{b}^{\prime }=a^{\prime }b$、$c{d}^{\prime }=c^{\prime }d$，从而

这正是两个结果等价的条件；同时 $bd\ne 0$ 保证结果仍是合法整数对。两项检查共同保证加法定义成立。

实际计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，用整数对得到 $[(1,2)]+[(1,3)]=[(5,6)]$。把第一个代表换成 $(2,4)$，得到 $[(10,12)]$；交叉相乘有 $5\cdot 12=6\cdot 10$，故两次计算得到的是同一个商集元素。结果的整数对不同，结果的等价类相同。

任意关系不能直接照此分类。实数上的“距离小于 $1$”虽自反、对称，却有 $0\sim 0.75$、$0.75\sim 1.5$、$0\nsim 1.5$。由它得到的邻域会相交而不相等，不能作为等价类划分。

若函数理路函数Function · Map · Mapping由定义域、陪域和单值图共同组成，并把每个输入送到唯一输出的映射。 $f:A\to B$ 在每个等价类上取同值，即 $a\sim a^{\prime }\Rightarrow f(a)=f(a^{\prime })$，则可定义 $\overline{f}:A/\sim \to B$ 为 $\overline{f}([a])=f(a)$。上述条件恰好保证换代表不改变结果，并且 $f=\overline{f}\circ \pi$。由于 $\pi$ 满射，所有商集元素的值都已被这个等式规定，所以 $\overline{f}$ 唯一。

也可以从反面检查这个条件：若 $f(a)\ne f(a^{\prime })$ 而 $[a]=[a^{\prime }]$，任何 $\overline{f}$ 都会被要求给同一输入两个输出，因而不可能存在。下降性质正好筛出了取商后仍可保留的信息。

商群、商环、商空间在集合商之外，还要求原运算与等价关系相容；语法的α-等价理路α-等价Alpha-equivalence · α-equivalence忽略绑定变量的具体名字、只保留作用域与绑定结构的等价关系。则把约束变量的合法改名视为同一对象。商集本身的存在不要求为所有类同时选代表，后一个任务在一般情形下才可能涉及选择公理。