形式陈述

给定 $A$$A$ 上的等价关系 $\sim$$\sim$，元素 $a$$a$ 的等价类为

$$ [a]=\{x\in A:x\sim a\}, $$$$[a]=\{x\in A:x\sim a\},$$

商集为 $A/{\sim}=\{[a]:a\in A\}$$A/\sim =\{[a]:a\in A\}$。自然投影 $\pi:A\to A/{\sim}$$\pi :A\to A/\sim$ 由 $\pi(a)=[a]$$\pi (a)=[a]$ 给出。

直觉

商集把被视为等价的对象压缩成一个新对象。计算时可以选择代表元，但最终定义必须与代表元选择无关。

例子与边界

整数按模 $n$$n$ 同余得到 $\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。若 $a\sim b$$a\sim b$，则 $[a]=[b]$$[a]=[b]$；若不等价，则两个类不交。任意关系的“类”可能重叠，不能自动形成商集。

推论与应用

商构造消除冗余表示，产生模算术、商空间和语法等价类。在商集上定义运算时，必须证明结果不依赖代表元。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §7。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Relations chapter。