奇异同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $R$ 为交换含幺环。奇异 $n$ -单形是连续映射

\sigma:\Delta^n\to X.

奇异链模 $C_n(X;R)$ 是以全部奇异 $n$ -单形为基的自由 $R$ -模。边界映射在生成元上定义为各面限制的交错和

\partial_n\sigma=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma\circ\delta_i,

其中 $\delta_i:\Delta^{n-1}\hookrightarrow\Delta^n$ 嵌入第 $i$ 个面。这些链模与边界算子组成奇异链复形。由 $\partial_n\partial_{n+1}=0$ ，有

B_n(X;R)=\operatorname{im}\partial_{n+1} \subseteq Z_n(X;R)=\ker\partial_n.

第 $n$ 个奇异同调模定义为

H_n(X;R)=Z_n(X;R)/B_n(X;R).

在底层加法群上，这同时是把循环群按边界子群所取的商群。取 $R=\mathbb Z$ 时得到通常的奇异同调群。对任意阿贝尔群 $G$ ，定义

C_n(X;G)=C_n(X;\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}G,

边界映射为 $\partial_n\otimes\operatorname{id}_G$ ，再以其核模像定义 $H_n(X;G)$ 。这里 $G$ 不必自带环乘法，因此链对象一般只是阿贝尔群，而不是“自由 $G$ -模”。

直觉

“奇异”表示允许所有连续单形映入空间，不要求空间先有三角剖分。链是带系数的有限单形组合，循环没有边界，边界则确实来自更高维链；取商后只留下“已经闭合却无法在空间中填掉”的部分。

把几何线性化为阿贝尔群或模，使矩阵计算、正合列和系数变换成为可能，但也会丢失基本群中的非交换信息。因此同调是强有力的不变量，不是空间的完整编码。

例子与边界

一点空间满足 $H_0\cong\mathbb Z$ 、 $H_n=0$ （ $n>0$ ）。圆周有 $H_1(S^1;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ ，生成元记录绕行；闭圆盘边界在圆盘中是二维链的边界，所以其一维同调类为零。

$H_0(X;\mathbb Z)$ 是以道路连通分支为基的自由阿贝尔群，而不是一般连通分支。病态空间中连通与道路连通不同。实射影平面满足

H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z,

换成有理系数后这个挠信息消失。即使两个空间的全部同调群同构，也不能断言它们同伦等价；基本群、上同调环或更高结构仍可能不同。

推论与应用

连续映射 $f:X\to Y$ 通过复合 $\sigma\mapsto f\circ\sigma$ 诱导链映射和同调同态，且保持恒等与复合，所以 $H_n(-;R)$ 是函子。同伦映射诱导相同同调同态，这是独立的同伦不变性定理，而不是定义的一部分。

约化同调把非空道路连通空间多余的 $H_0\cong R$ 因子移除；相对同调与长正合列支持分解计算。给定有限单纯复形时，单纯同调用有限面关系计算同一不变量；给定 CW 结构时，胞腔同调进一步按骨架压缩链群。三者是不同链模型，不是三种互不相干的“洞”定义。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, Chapter 2.
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993, Chapter IV.