形式陈述

在奇异链复形中，$n$$n$-循环群与 $n$$n$-边界群分别为

$$ Z_n(X)=\ker\partial_n, \qquad B_n(X)=\operatorname{im}\partial_{n+1}. $$$$Z_n(X)=\ker {\partial }_n,B_n(X)=\mathrm{im}{\partial }_{n+1}.$$

由于 $\partial_n\partial_{n+1}=0$${\partial }_n{\partial }_{n+1}=0$，有 $B_n(X)\subseteq Z_n(X)$$B_n(X)\subseteq Z_n(X)$，定义第 $n$$n$ 个奇异同调群

$$ H_n(X;\mathbb Z)=Z_n(X)/B_n(X). $$$$H_n(X;\mathbb{Z})=Z_n(X)/B_n(X).$$

连续映射诱导同调同态，恒等与复合得到函子。$H_0(X;\mathbb Z)$$H_0(X;\mathbb{Z})$ 是以道路连通分支为基的自由阿贝尔群；对非空道路连通空间，$H_0\cong\mathbb Z$$H_0\cong \mathbb{Z}$。

直觉

循环是没有边界的几何链；若它本身又是更高维链的边界，就视为可填充而平凡。同调记录“闭合但无法填充”的障碍。

例子与边界

一点的 $H_0\cong\mathbb Z$$H_0\cong \mathbb{Z}$、高维同调为零；圆周有 $H_1(S^1)\cong\mathbb Z$$H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$，生成元记录绕行。闭圆盘的边界圆在圆盘中是某个二维链的边界，所以其同调类为零。$H_0$$H_0$ 计数道路分支而非一般连通分支，病态空间中二者不同。同调群不完全分类空间：不同空间可能拥有同构的全部同调群；系数改变还会显露或消去扭结信息。

推论与应用

奇异同调是同伦不变量，用于检测洞、证明不动点/分离结果、计算流形和建立代数拓扑中的正合工具。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, singular homology groups and basic computations。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, homology functor and examples。