单纯同调

形式陈述 ​

设 $K$ 是有限单纯复形公理库单纯复形Simplicial complex · Abstract simplicial complex由对取子集封闭的有限顶点集合族编码单形及其粘合关系的组合空间。，并给顶点选定一个全序。单形 $\{v_0,\dots ,v_k\}$ 按 $v_0<\cdots <v_k$ 定向，记为 $[v_0,\dots ,v_k]$。第 $k$ 个单纯链群 $C_k(K)$ 是以所有定向 $k$-单形为基的自由Abel 群公理库阿贝尔群Abelian group · Commutative group群运算满足交换律的群。；交换两个顶点会改变符号。

边界算子在基单形上定义为

$${\partial }_k[v_0,\dots ,v_k]=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i[v_0,\dots ,{\hat{v}}_i,\dots ,v_k].$$

每个余维二的面在 ${\partial }_{k-1}{\partial }_k$ 中出现两次且符号相反，所以

$${\partial }_{k-1}\circ {\partial }_k=0.$$

因此 $B_k(K)=\mathrm{im}{\partial }_{k+1}\subseteq Z_k(K)=\ker {\partial }_k$，第 $k$ 个单纯同调群定义为

$$H_k(K)=Z_k(K)/B_k(K).$$

改变全局顶点顺序会改变链矩阵中的符号，却通过重新定向基得到自然同构的同调群。几何实现 $|K|$ 的单纯同调与其奇异同调公理库奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。自然同构，这是比较定理，不是定义上的相等。

直觉 ​

链允许把有限多个有向单形以整数系数叠加。边界相消后得到 cycle；若这个 cycle 正好是更高维单形组合的边界，它没有留下洞。取“循环模边界”后，保留下来的类记录无法在复形内部填掉的闭合结构。

单纯模型的优势是有限与可计算。边界算子在选定基后就是整数矩阵，同调计算可转成核、像与 Smith 正规形问题。代价是空间必须先有一个合适的复形模型，而奇异同调不要求预先三角剖分。

例子与边界 ​

令 $K$ 是三角形边界，边按

$$e_{01}=[v_0,v_1],e_{12}=[v_1,v_2],e_{02}=[v_0,v_2]$$

定向。链 $z=e_{01}+e_{12}-e_{02}$ 满足 ${\partial }_{1}z=0$。因为复形没有二维单形，$z$ 不是二维边界，所以

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z},H_1(K)\cong \mathbb{Z}.$$

若加入填充单形 $[v_0,v_1,v_2]$，则 $z={\partial }_2[v_0,v_1,v_2]$，于是 $H_1=0$。同一条边界在是否存在内部二维单形时产生不同同调，展示了“闭合”与“可填充”的区别。

方向不可忽略。把一条边的两个方向当作独立生成元会破坏边界相消；正确关系是 $[v_j,v_i]=-[v_i,v_j]$。${\partial }^2=0$ 也不是图形直觉即可代替的事实，至少要核对删去第 $i,j$ 个顶点的两种次序符号相反。

Betti 数只记录同调群自由部分的秩，不能代表整个群；整数系数同调还可能含挠元。不同空间拥有同构的全部同调群也不必同伦等价，因此同调是重要不变量，而非空间的完整分类。

推论与应用 ​

单纯映射在顶点上保持单形，并线性诱导链映射，进而产生同调同态。重心细分改变组合网格却不改变几何实现的同调。有限复形的边界矩阵使连通分支、洞和挠元能够被算法计算，也支撑持久同调等数据分析构造。

拓扑链复形公理库奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。提供统一的核像语言；相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。把子复形中的链模去，可建立对与切除的长正合列。胞腔同调公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。改用 CW 骨架压缩链群；单纯、胞腔与奇异链模型应通过比较定理连接，而不应各自重复一次“核模像”的一般代数定义。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, §2.1, simplicial and singular homology.
• James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984, Chs. 1–4, oriented complexes and simplicial homology.