单纯同调

链允许把有限多个有向单形以整数系数叠加。边界相消后得到 cycle；若这个 cycle 正好是更高维单形组合的边界，它没有留下洞。取“循环模边界”后，保留下来的类记录无法在复形内部填掉的闭合结构。

单纯模型的优势是有限与可计算。边界算子在选定基后就是整数矩阵。计算时先取得 $\ker {\partial }_k$ 的整数基，再把 $\mathrm{im}{\partial }_{k+1}$ 的生成元写到这组基中，对所得关系矩阵求Smith 正规形理路PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。，便读出自由部分与挠因子。两张边界矩阵的换基必须相容，不能各自对角化后忽略它们在中间链群中的坐标关系。代价是空间必须先有一个合适的复形模型，而奇异同调不要求预先三角剖分。

令 $K$ 是三角形边界，边按

定向。链 $z=e_{01}+e_{12}-e_{02}$ 满足 ${\partial }_{1}z=0$。因为复形没有二维单形，$z$ 不是二维边界，所以

若加入填充单形 $[v_0,v_1,v_2]$，则 $z={\partial }_2[v_0,v_1,v_2]$，于是 $H_1=0$。同一条边界在是否存在内部二维单形时产生不同同调，展示了“闭合”与“可填充”的区别。

反向定向对应负生成元：$[v_j,v_i]=-[v_i,v_j]$。当 $i<j$ 时，先删第 $i$ 个顶点再删原第 $j$ 个顶点，符号为 $(-1{)}^i(-1{)}^{j-1}$；反过来删则为 $(-1{)}^j(-1{)}^i$。两者相反，因此每个余维二面在二次边界中抵消。

Betti 数只记录同调群自由部分的秩，不能代表整个群；整数系数同调还可能含挠元。不同空间拥有同构的全部同调群也不必同伦等价，因此同调是重要不变量，而非空间的完整分类。

单纯映射 $f:K\to L$ 在顶点上将每个单形送到一个单形。其诱导链映射还须处理维数坍缩：若 $f(v_0),\dots ,f(v_k)$ 有重复，则令 $f_{\mathrm{\#}}[v_0,\dots ,v_k]=0$；否则将这些像按目标顶点全序重排，并乘相应排列的符号。如此线性延拓才保持次数并与边界交换，进而产生同调同态。例如把一条边的两端映到同一顶点时，该一链的像为零，而不是一个零链。重心细分改变组合网格却不改变几何实现的同调。有限复形的边界矩阵使连通分支、洞和挠元能够被算法计算，也支撑持久同调等数据分析构造。

拓扑链复形理路奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。提供统一的核像语言；相对同调理路相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。把子复形中的链模去，可建立对与切除的长正合列。胞腔同调理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。改用 CW 骨架压缩链群；比较定理将单纯、胞腔与奇异链模型计算出的同调联系起来。

任意连续映射怎样得到这里的有限顶点表？单纯逼近定理理路单纯逼近定理Simplicial approximation theorem · 单纯映射的星条件用重心细分和开星条件把连续映射变成有限顶点表，证明同伦与选择无关，并逐边核验圆周度二的链证书。先细分源，用顶点开星包含证明像顶点确实组成单形，并以目标单形内的直线同伦连接原映射。对同一映射的两份选择，还可逐项写出棱柱链同伦。Lefschetz不动点证明理路Lefschetz 不动点定理Lefschetz fixed point theorem · Lefschetz数 · Hopf交替迹公式由有限同调作用的交替迹认证不动点，完整证明链迹抵消及两级细分的零对角机制，并区分存在性与点数。随后将细分链映射与细到粗的顶点链映射复合，形成真正的链方阵；它的交替迹等于同调作用的交替迹。不同网格之间的矩形映射本身不能直接取迹。

相同Betti数之后，还要问是哪一张映射 ​

点态偏序同伦理路有限偏序的序复形与同伦证书Order complex and order homotopy · Finite poset homotopy certificate · 序复形把有限偏序的全部比较链变成单纯复形，用逐点保序更新和可删除点日志交付连续同伦与链证书。提供有限顶点更新，并能对每一步展开整数棱柱算子 $T$，逐项核 $\partial T+T\partial =g_{\mathrm{\#}}-f_{\mathrm{\#}}$。重复像顶点仍取零，所以每个链算子的次数与定向都符合本页合同。

在Dowker关系对偶理路Dowker关系复形对偶Dowker relation duality · Dowker complexes · 关系的共同见证复形从有限关系的共同列见证与共同行见证建立两侧复形，给出同伦等价的反序面映射，并证明关系扩张时诱导同调自然相容。中，关系扩大产生两侧复形的包含。共同邻居映射在反序目标中逐点可比，因此两条复合同伦，诱导同调方块严格交换。这个结果对应整条有限滤过中的同调类；仅在每个阶段算出相同Betti向量，并不能替代自然相容的映射证据。

记录同一循环何时才被填充 ​

持续同调理路有限过滤的持续同调Persistent homology · 持久同调 · 持续同调从有限子复形过滤构造带包含诱导映射的同调序列，用区间记录类的出生与死亡，并区分逐层维数、系数选择、同级事件及最终常值延拓。把一列子复形的同调与包含诱导映射一起保留。两个时刻的Betti数都为一，可能是旧环一直存活，也可能是旧环已被填掉而新环刚好出生；仅有维数无法分辨。

持续列约化理路持续边界矩阵的列约化证书Persistence boundary matrix reduction · Persistent homology matrix reduction按过滤顺序约化边界列，维护R=DV并构造真实过滤基W与DW=WB，严格恢复条码、出生循环和死亡填充链，核清同级空条与R不是新微分的边界。按面先于余面、过滤值不下降的顺序维护 $R=DV$，再构造真正的过滤基 $W$ 与 $DW=WB$。配对方向的循环是 $R_j$，死亡填充链是 $V_j$；原始过滤值相同的索引对只给空区间，不能将人为细化的索引差当成实际寿命。