形式陈述

对空间对 $(X,A)$，定义

$$C_n(X,A)=C_n(X)/C_n(A),$$

其边界映射良定义，相对同调为 $H_n(X,A)$。短正合列

$$0\to C_{\ast }(A)\to C_{\ast }(X)\to C_{\ast }(X,A)\to 0$$

诱导同调长正合列。

直觉

把完全落在 $A$ 中的链视为零，留下从 $A$ 扩展到 $X$ 时真正新增的洞。

例子与边界

$H_n(X,\varnothing )\cong H_n(X)$，而 $H_n(X,X)=0$。相对同调不是集合差 $X\setminus A$ 的同调。

推论与应用

它是切除、Mayer–Vietoris、胞腔同调、局部同调和流形基本类的共同语言。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2002), relative homology.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), relative homology.