相对同调

普通同调要求循环没有边界；相对同调把 $A$ 宣布为“已经理解、无需再看”的部分，于是允许边界落在 $A$ 中。想象一张膜横跨某个空间，它的边缘固定在 $A$ 上：在 $X$ 中这张膜不是循环，在 $(X,A)$ 中却是，因为那圈边缘被商掉了。这正适合描述附着胞腔、带边界流形和局部邻域中的基本类。

长正合列把三种信息排成一条无缝的故障追踪链。$X$ 中的类若来自 $A$，进入相对群后便消失；一个相对类若不能由 $X$ 中的绝对循环表示，它的障碍正由 $\delta$ 送回 $A$ 上的边界类。正合性不是只给出群的列表，而是逐点说明“前一个映射的像恰是后一个映射的核”。

把 $A$ 中的链设为零在直觉上接近把整个 $A$ 压成一点，但相对同调一般不等于集合差 $X\setminus A$ 的同调。对满足邻域形变收缩条件的良好空间对，常有 $H_n(X,A)\cong {\tilde{H}}_n(X/A)$；若嵌入行为很坏，这个商空间公式不能不加条件地使用。相对链复形本身则对任意子空间对都有定义。

两个极端情形直接来自商链群：

它们分别表示没有链被忽略，以及所有链都被忽略。

对 $n\ge 1$，在 $(D^n,S^{n-1})$ 中，表示圆盘基本链的边界完全位于球面，所以它定义相对 $n$-循环。由长正合列和 $D^n$ 可缩可得

连接同态把圆盘的相对基本类送到边界球面的基本类。这不是说圆盘内部出现了一个普通 $n$ 维洞，而是说一张边缘固定在 $S^{n-1}$ 上的顶维链无法相对收缩掉。

区间对 $([0,1],\{0,1\})$ 给出同一现象的一维版本。按从 $0$ 到 $1$ 定向的整条区间是相对 $1$-循环，并且

这个差生成映射 $H_0(\{0,1\})\to H_0([0,1])$ 的核，所以 $H_1([0,1],\{0,1\})\cong \mathbb{Z}$。但集合差 $(0,1)$ 是可缩空间，其普通一维同调为零，直接表明“相对同调就是补集同调”是错误的。

奇异链公理库奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。提供基础链复形，对的长正合列公理库同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。系统研究短正合列为何产生上述连接同态；本页只保留对 $(X,A)$ 的具体读取方式。映射 $f:(X,A)\to (Y,B)$ 若满足 $f(A)\subseteq B$，会自然诱导相对同调映射，并与长正合列中的所有箭头交换，这使空间对之间的比较可以逐层进行。

切除定理公理库切除定理Excision theorem在适当内部包含条件下，从空间对中同时删去一块不会改变相对同调。说明哪些藏在 $A$ 内部的部分可以安全删去，从而把相对同调局部化。对 CW 骨架对 $(X^n,X^{n-1})$，相对群隔离第 $n$ 层新胞腔；如何由这些群组装成可计算边界矩阵由胞腔同调公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。展开。若 $M$ 是带边界的定向 $n$ 维流形，其基本类自然位于 $H_n(M,\partial M)$，因为顶维链的几何边缘恰落在 $\partial M$ 上。