单纯同调

链允许把有限多个有向单形以整数系数叠加。边界相消后得到 cycle；若这个 cycle 正好是更高维单形组合的边界，它没有留下洞。取“循环模边界”后，保留下来的类记录无法在复形内部填掉的闭合结构。

单纯模型的优势是有限与可计算。边界算子在选定基后就是整数矩阵。计算时先取得 $\ker {\partial }_k$ 的整数基，再把 $\mathrm{im}{\partial }_{k+1}$ 的生成元写到这组基中，对所得关系矩阵求Smith 正规形公理库PID 上的 Smith 正规形Smith normal form over a PID · Smith normal formPID 上的矩阵可经可逆行列变换化为满足整除链的对角形，且对角因子在相伴意义下唯一。，便读出自由部分与挠因子。两张边界矩阵的换基必须相容，不能各自对角化后忽略它们在中间链群中的坐标关系。代价是空间必须先有一个合适的复形模型，而奇异同调不要求预先三角剖分。

令 $K$ 是三角形边界，边按

定向。链 $z=e_{01}+e_{12}-e_{02}$ 满足 ${\partial }_{1}z=0$。因为复形没有二维单形，$z$ 不是二维边界，所以

若加入填充单形 $[v_0,v_1,v_2]$，则 $z={\partial }_2[v_0,v_1,v_2]$，于是 $H_1=0$。同一条边界在是否存在内部二维单形时产生不同同调，展示了“闭合”与“可填充”的区别。

反向定向对应负生成元：$[v_j,v_i]=-[v_i,v_j]$。当 $i<j$ 时，先删第 $i$ 个顶点再删原第 $j$ 个顶点，符号为 $(-1{)}^i(-1{)}^{j-1}$；反过来删则为 $(-1{)}^j(-1{)}^i$。两者相反，因此每个余维二面在二次边界中抵消。

Betti 数只记录同调群自由部分的秩，不能代表整个群；整数系数同调还可能含挠元。不同空间拥有同构的全部同调群也不必同伦等价，因此同调是重要不变量，而非空间的完整分类。

单纯映射 $f:K\to L$ 在顶点上将每个单形送到一个单形。其诱导链映射还须处理维数坍缩：若 $f(v_0),\dots ,f(v_k)$ 有重复，则令 $f_{\mathrm{\#}}[v_0,\dots ,v_k]=0$；否则将这些像按目标顶点全序重排，并乘相应排列的符号。如此线性延拓才保持次数并与边界交换，进而产生同调同态。例如把一条边的两端映到同一顶点时，该一链的像为零，而不是一个零链。重心细分改变组合网格却不改变几何实现的同调。有限复形的边界矩阵使连通分支、洞和挠元能够被算法计算，也支撑持久同调等数据分析构造。

拓扑链复形公理库奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。提供统一的核像语言；相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。把子复形中的链模去，可建立对与切除的长正合列。胞腔同调公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。改用 CW 骨架压缩链群；比较定理将单纯、胞腔与奇异链模型计算出的同调联系起来。