流形定向

局部坐标总能标出一种方向，困难是沿着空间移动后能否让这些选择一致。转移行列式连续且不为零，故在重叠部分的每个连通分支上符号固定；可定向性要求能安排所有坐标图，使全部重叠都取正号。

定向不等于坐标轴、长度或体积的选择。它只保留有序基的符号类：把一个轴乘以正数不改定向，交换两个轴则翻转。对通常假定 Hausdorff、第二可数的光滑流形，可定向还等价于存在处处非零的顶维微分形式；该形式在正向基上取正值。但不同正体积形式可相差正光滑函数，因此定向没有指定唯一体积大小。

平面坐标变换 $(u,v)=(2x,3y)$ 的行列式为 $6$，保持标准定向；$(u,v)=(y,x)$ 的行列式为 $-1$，翻转定向。二者都光滑可逆，说明行列式非零只保证局部可逆，不能代替正号条件。

${\mathbb{R}}^n$、球面、环面和圆柱面可定向。球面 $S^n\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ 的外法向是位置向量 $p$；规定 $(v_1,\dots ,v_n)$ 正向，当且仅当 $(p,v_1,\dots ,v_n)$ 在环境空间正向，便得到标准球面定向。对嵌入定向 Euclidean 空间的超曲面，连续单位法向场同样诱导定向；抽象流形本身并不需要先有嵌入或法向。

Möbius 带可由矩形的两侧按 $(0,v)\sim (1,-v)$ 粘合。跨过接缝的局部坐标变换翻转横向坐标，其行列式为负；沿中心圈一周后原先的方向被反转，所以无法全局选择一致的正向基。实射影平面也不可定向。可定向是存在性质，定向则是一次具体选择。

顶维微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。在定向流形上可作带符号积分；反转定向把积分变为原值的负数。如果讨论不带符号的面积或体积，则使用度量诱导的密度，它不依赖定向，不能与形式积分的符号混同。

对带边界的定向流形，边界采用外向量优先约定：$\partial M$ 的基 $(v_1,\dots ,v_{n-1})$ 正向，当且仅当 $(\nu ,v_1,\dots ,v_{n-1})$ 在 $M$ 中正向，其中 $\nu$ 指向外部。单位长度并非必要。例如圆盘边界点 $(1,0)$ 的外向量是 $(1,0)$，取切向量 $(0,1)$ 时，两列组成的矩阵行列式为 $1$，所以向上的切向为正；沿圆周延伸正好是逆时针方向。这一约定为Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。固定符号。

流形基本类公理库流形基本类Fundamental class · 流形基本类将一致定向的顶维单形相加得到基本循环，并由共享面的系数传播证明它生成闭连通定向流形的顶维同调。把一致定向的顶维单形相加为一个循环，并由共享面的系数传播证明它生成闭连通定向流形的顶维同调。交数和有向版本的 Gauss–Bonnet 公式公理库Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。同样需要一致方向。把每点的两个局部定向作为纤维可构造定向双覆叠，用于记录不可定向流形沿闭路的翻转。