排列

排列可以同时看成有序列表和有限集上的双射。列表视角适合计数位置，函数视角则揭示复合、逆与循环分解；每个元素恰出现一次正对应双射的单射与满射。循环结构不依赖从哪个元素开始书写同一循环，却依赖不同循环之间怎样分组。

$\{a,b,c\}$ 有 $3!=6$ 个排列。映射 $1\mapsto 2,2\mapsto 3,3\mapsto 1$ 是一个三循环。含重复符号的字符串排列不是集合排列：交换两个不可区分副本不会产生新结果；只选取部分元素则属于 $k$-排列而非全排列。

置换 $\sigma$ 由 $1\mapsto 3,3\mapsto 2,2\mapsto 1,4\mapsto 4$ 给出，循环记号是 $(132)(4)$，通常省略固定点写成 $(132)$。同一循环也可写成 $(321)$，但 $(123)$ 表示逆方向的另一个置换。含重复元素的字符串重排不再有 $n!$ 个不同结果，需按重数除法修正。

有限集上的双射公理库双射Bijective function · One-to-one correspondence同时为单射和满射的函数。构成置换，数量为阶乘公理库阶乘Factorial前 n 个正整数的乘积 n!，并约定 0!=1。，无固定点的特例是错排公理库错排Derangement没有任何元素停留在原位置的置换及其计数问题。。置换的循环分解支撑群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。与 Burnside 计数，也把随机洗牌、置换检验中的固定点、循环数和逆序数变成概率变量。排序算法则可视为逐步消去输入排列的逆序；组合数也可由“先做有序选择，再忘掉所选元素的内部顺序”导出。