特征多项式

参数 $t$ 使 $tI-T$ 成为一族线性映射理路线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。。当 $t=\lambda$ 时，这个映射有非零核，等价于存在 $v\ne 0$ 使 $Tv=\lambda v$，也等价于它的行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为零。因此，一个多项式就把所有特征值组织为根，并用根的重数记录它们在多项式中出现多少次。

相同多项式下的不同特征空间 ​

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $(t-1{)}^2$。解 $(A-I)(x,y{)}^{\mathsf{T}}=0$ 得到 $y=0$，所以特征空间只有一维：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$，几何重数为 $1$。单位矩阵 $I_2$ 也有特征多项式 $(t-1{)}^2$，其特征空间却是整个平面，两者因而不相似。

底域决定根在哪里 ​

实平面的 ${90}^{\circ }$ 旋转矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 有特征多项式 $t^2+1$。它在 $\mathbb{R}$ 无根，在 $\mathbb{C}$ 分解为 $(t-i)(t+i)$；扩张标量域后，就能找到相应的复特征向量。

交换矩阵

满足

其迹为 $0$、行列式为 $-1$，正好对应特征多项式的两个系数。若底域特征为 $2$，两个根 $1$ 与 $-1$ 合并，特征多项式变成 $(t-1{)}^2$，分解形态随底域改变。

有些教材采用 $\det (A-tI)$，它等于本条首一约定的 $(-1{)}^n$ 倍。两种约定的根及其重数相同，系数的符号按这一因子转换。

特征多项式给出特征值理路特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。及代数重数；进一步确定对角化理路对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。或 Jordan 形，需要考察每个特征值对应的特征空间或广义特征向量链。Cayley–Hamilton 定理理路Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。则把 ${\chi }_T(T)=0$ 改写为矩阵幂的递推关系：首项系数为 $1$，所以 $T^n$ 可以由更低次幂表示，随后所有高次幂都可依次化简。

浮点计算通常通过QR 特征值算法理路QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。迭代构造Schur 分解理路Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。，从三角形或实准三角形中提取特征值。这样直接处理矩阵结构，省去计算全部多项式系数再求根的中间步骤及其误差传播。