特征多项式

特征多项式把“哪些缩放使 $T-\lambda I$ 失去可逆性”编码成一个基无关多项式，同时记录每个谱值的代数重复程度。参数 $t$ 使 $tI-T$ 成为一族线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。；行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。为零的参数正是这族映射失去可逆性的地方。特征多项式因此把谱位置和代数重数压缩进一个首一多项式，但它只记录“失去可逆性到什么阶”，没有完全记住各广义特征空间的内部形状。

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $(t-1{)}^2$，但特征空间只有一维，说明代数重数不等于几何重数。实旋转矩阵的特征多项式 $t^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 无根，在 $\mathbb{C}$ 分裂。特征多项式相同不保证矩阵相似，例如单位矩阵与同阶非平凡 Jordan 块可共享 $(t-1{)}^n$。有些教材用 $\det (A-tI)$，相差因子 $(-1{)}^n$；本条采用首一约定。特征多项式只定义有限维端同态；无限维需要谱理论中的其他工具。

交换矩阵

满足

其迹为 $0$、行列式为 $-1$，正好对应特征多项式的两个系数。若底域特征为 $2$，两个根 $1$ 与 $-1$ 合并，分解形态随底域改变。特征多项式能给出谱及代数重数，却不能单独确定相似类；还需极小多项式或 Jordan 数据补充。

特征值公理库特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。是特征多项式的根，常数项与次高次项分别编码行列式和迹，因此特征多项式判定谱与可逆性，并为 Jordan 形与有理标准形提供第一层不变量。对浮点矩阵，先计算全部多项式系数再调用通用求根通常会额外放大误差；一般数值路线先构造Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。，并用QR 特征值算法公理库QR 特征值算法QR algorithm · Shifted QR algorithm · Francis QR algorithm先化 Hessenberg 或三对角形，再用隐式移位 QR、bulge chasing 与 deflation 计算 Schur 形和全部特征值。迭代提取谱。Cayley–Hamilton 定理公理库Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。让算子满足自身特征多项式，从而把高次矩阵幂化为有限递推；它与极小多项式共同控制对角化公理库对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。、标准形、线性递推和图谱不变量。