形式陈述

设 $V$$V$ 为 $n$$n$ 维向量空间、$T:V\to V$$T:V\to V$，选基得矩阵 $A$$A$。特征多项式定义为

$$ \chi_T(t)=\det(tI_n-A). $$$${\chi }_T(t)=\det (t{I}_n-A).$$

若更换基，矩阵变为 $P^{-1}AP$$P^{-1}AP$，而

$$ \det(tI-P^{-1}AP)=\det(P^{-1}(tI-A)P)=\det(tI-A), $$$$\det (tI-P^{-1}AP)=\det (P^{-1}(tI-A)P)=\det (tI-A),$$

故定义与基无关。它是首一 $n$$n$ 次多项式；$\lambda\in F$$\lambda \in F$ 是特征值当且仅当 $\chi_T(\lambda)=0$${\chi }_T(\lambda )=0$。常数项为 $(-1)^n\det T$$(-1{)}^n\det T$，$t^{n-1}$$t^{n-1}$ 系数为 $-\operatorname{tr}T$$-\mathrm{tr}T$。Cayley–Hamilton 定理断言 $\chi_T(T)=0$${\chi }_T(T)=0$。根的重数称代数重数。

直觉

特征多项式把“哪些缩放使 $T-\lambda I$$T-\lambda I$ 失去可逆性”编码成一个基无关多项式，同时记录每个谱值的代数重复程度。

例子与边界

$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $(t-1)^2$$(t-1{)}^2$，但特征空间只有一维，说明代数重数不等于几何重数。实旋转矩阵的特征多项式 $t^2+1$$t^2+1$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 无根，在 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 分裂。特征多项式相同不保证矩阵相似，例如单位矩阵与同阶非平凡 Jordan 块可共享 $(t-1)^n$$(t-1{)}^n$。有些教材用 $\det(A-tI)$$\det (A-tI)$，相差因子 $(-1)^n$$(-1{)}^n$；本条采用首一约定。特征多项式只定义有限维端同态；无限维需要谱理论中的其他工具。

推论与应用

特征多项式用于求谱、判定可逆性、建立 Cayley–Hamilton 和矩阵递推，并为 Jordan/有理标准形提供第一层不变量。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 5, characteristic polynomials and Cayley–Hamilton。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, characteristic equation and similarity invariance。