行列式

把方阵的列看作一个有向平行多面体的边，行列式就是它相对单位体积的缩放因子。某一列乘 $c$，体积也乘 $c$；两列相同，图形压扁而体积为零；交换两列，定向翻转。这个图像直接解释乘法性：先施加 $B$、再施加 $A$，总体尺度是两个缩放因子的乘积。

体积图像最适合实数域，但交替多线性定义和 Leibniz 公式只需要交换含幺环。将定义域放在这一层，可以同时覆盖整数矩阵公理库矩阵Matrix以有限行列集合为索引、取值于半环，并以中间指标求和定义乘法的函数。、多项式矩阵和域上的线性算子，而不把“非零”误当成一般环中的“可逆”。

二阶公式为

对上三角矩阵，Leibniz 展开中只有恒等置换可能留下非零项，所以行列式是对角元之积。若系数在域中，或消元过程所需主元均可逆，Gaussian 消元可用 $O(n^3)$ 次算术运算化为三角形：交换两行使行列式变号，一行乘 $c$ 使其乘 $c$，把一行的倍数加到另一行则不变。一般交换环公理库交换环Commutative ring乘法满足交换律的环。中的非零主元未必可逆，不能无条件执行这条消元路径；整环上可改用 Bareiss 等 fraction-free 算法，更一般的环则使用 division-free 行列式算法。

整数矩阵 $\mathrm{diag}(2,1)$ 的行列式为 $2\ne 0$，却不在 $M_2(\mathbb{Z})$ 中可逆，因为 $2\notin {\mathbb{Z}}^{\times }=\{\pm 1\}$。这说明“行列式非零”只是域上的判据。行列式也不是整个矩阵空间上的线性函数：取 $A=B=I_2$，有 $\det (A+B)=4$，而 $\det A+\det B=2$。它只对方阵定义；矩形矩阵应研究各阶子式或秩，不能说其“行列式为零”。

非交换环中因子次序会影响 Leibniz 展开，普通行列式的乘法性不再自动成立；特定场景需使用 Dieudonné 行列式等替代构造，而不能直接照搬上述定义。

在实平面中，旋转矩阵的行列式为 $1$，反射矩阵的行列式为 $-1$：二者都保持面积绝对值，只有反射翻转定向。这也说明几何上同时需要 $\det A$ 的绝对值与符号，不能只把行列式理解为无向体积。

对有限自由模的自同态，行列式在选定基下计算，换基时相似矩阵具有相同行列式，因此结果与基无关。它定义 特征多项式公理库特征多项式Characteristic polynomial由 det(λI−T) 定义并编码线性算子特征值的多项式。 $\det (\lambda I-A)$，并在域上给出 Cramer 法则与可逆性判据；Cramer 法则适合显式公式和理论推导，却不是大型线性系统的实用数值算法，因为逐个计算行列式会重复大量工作。即使在域上，$\det A$ 的绝对大小也会随维数和缩放剧烈变化，不能单独判断系统是否接近奇异或解对扰动是否敏感；这些量由线性系统条件性公理库线性方程组的条件数与扰动Conditioning of linear systems · Matrix condition number把一般问题条件性具体化为可逆线性系统的右端、系数矩阵与联合扰动界。刻画。

分析中的 Jacobian公理库Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。 行列式度量同维映射的局部体积畸变，并作为顶次微分形式拉回的系数。一般 $k$-形式的拉回由导数矩阵的 $k$ 阶子式控制；坐标无关地说，这正是导数在第 $k$ 次外幂上的诱导映射。特别地，$\det T$ 是 $T$ 在顶次外幂 ${\mathrm{\Lambda }}^{n}V$ 上诱导的标量。