形式陈述

对 $n\times n$$n\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$$A=(a_{ij})$，行列式可定义为唯一对列向量多重线性、交替且满足 $\det I_n=1$$\det I_n=1$ 的函数；等价公式为

$$ \det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}. $$$$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}.$$

它满足 $\det(AB)=\det A\det B$$\det \left(AB\right)=\det A\det B$。若系数在域 $F$$F$ 中，则 $A$$A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne0$$\det A\ne 0$；若系数在一般交换含幺环 $R$$R$ 中，则正确判据是 $\det A$$\det A$ 为 $R$$R$ 的单位。交换两行使符号反转，一行乘 $c$$c$ 使行列式乘 $c$$c$，向一行加另一行倍数不变。线性算子 $T:V\to V$$T:V\to V$ 的行列式定义为任一基下矩阵的行列式，因相似矩阵行列式相同而与基无关。

直觉

行列式把一个线性变换对有向体积的总缩放压缩成一个标量；零值表示某个方向被压扁，无法逆转。

例子与边界

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$。上三角矩阵的行列式是对角元乘积。旋转矩阵行列式为 $1$$1$，反射矩阵为 $-1$$-1$；两者都保体积绝对值。行列式只对方阵或同维端到端算子定义，不能把一般矩形矩阵直接称为“行列式为零”。$\det(A+B)$$\det (A+B)$ 一般不等于 $\det A+\det B$$\det A+\det B$，因为行列式不是对整个矩阵的一元线性函数。非交换系数环上的普通置换公式需要谨慎，标准理论默认交换域或交换环。行列式非零等价可逆依赖在域上；一般交换环中应说行列式为单位才等价于矩阵可逆。

推论与应用

行列式判定可逆性、计算特征多项式、变量替换的 Jacobian 和定向体积，并连接交替多线性代数与外幂。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 9, determinant as alternating multilinear function。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, determinants and volume。