格行列式

余体积衡量格点的平均稀疏程度。一个基本平行多面体恰好代表一个格陪集，体积越大，每个格点平均占据的连续空间越多。它控制的是整体密度，不决定局部形状：同一余体积的格可以近乎正交，也可以细长到有极短和极长的方向。

Gram 矩阵把环境坐标消去，只记录基向量的长度与夹角。$\det \left(B^{\mathsf{T}}B\right)$ 是平行多面体体积的平方，因此即使格嵌在更高维空间，仍能得到正确的内在 $k$ 维体积。直接对长方矩阵写 $\det B$ 没有定义，也不能靠随意补列获得基无关答案。

若对基做 thin QR 分解 $B=QR$，其中 $Q^{\mathsf{T}}Q=I_k$、$R$ 为上三角矩阵，则

这里 $b_i^{\ast }$ 是未归一化 Gram–Schmidt 向量。这个乘积公式把体积看成逐层“新高度”，也解释了某一步投影高度接近零为何意味着基近乎相关。数值计算时通常累加 $\log |r_{ii}|$，可避免高维乘积上溢或下溢。

若 ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ 是同秩子格，则

子格点更少，余体积反而更大；这个方向是检验同余格计算是否写反的便捷方法。

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中取

该格秩为 $2$，所以

几何上，两向量正交，面积也确为 $\Vert b_1\Vert \Vert b_2\Vert =\sqrt{2}\cdot 2$。若误把环境三维体积用于这个平行四边形，会得到零；那只是二维对象在三维 Lebesgue 测度下为零，不是格余体积为零。

再看 ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }=2\mathbb{Z}\times 3\mathbb{Z}\subset {\mathbb{Z}}^2$。其基矩阵为 $\mathrm{diag}(2,3)$，余体积为 $6$，而商群有六个陪集，故指数公式吻合。把第二列改成 $(1,3)$ 不改变绝对行列式，显示剪切形状与平均密度可以分离。

余体积相同不推出等距或同一个格。$\mathrm{diag}(2,1/2){\mathbb{Z}}^2$ 与 ${\mathbb{Z}}^2$ 都有余体积 $1$，前者却含长度 $1/2$ 的非零向量。更不能由 $\det \mathrm{\Lambda }=1$ 推出 $\mathrm{\Lambda }$ 自对偶；自对偶还要求整数配对与点集相等。

Minkowski 第一定理公理库格上的 Minkowski 第一定理Minkowski's first theorem for lattices · Minkowski convex body theorem · Minkowski 格点定理体积超过格基本区域两倍幂的中心对称凸体必含非零格点。把对称凸体的体积与 $2^k\det \mathrm{\Lambda }$ 比较，从余体积推出短向量存在性。对偶格公理库对偶格Dual lattice · Reciprocal lattice · 倒易格格张成空间中与每个原格点内积为整数的全部向量所成之格。满足 $\det \left({\mathrm{\Lambda }}^{\ast }\right)=1/\det \left(\mathrm{\Lambda }\right)$；这一互反关系是 Poisson 求和与平滑参数估计的尺度检查。

在 q-ary 格中，线性同余约束常把 ${\mathbb{Z}}^m$ 切成有限指数的子格，指数公式便可直接给出余体积。不过秩、满射性和模数因子必须实际验证：若约束矩阵模 $q$ 不满秩，机械写成 $q^n$ 会高估指数。

余体积还提供缩放审计：对秩 $k$ 格有 $\det \left(c\mathrm{\Lambda }\right)=|c{|}^k\det \mathrm{\Lambda }$，而正交变换不改变它。若推导中整体长度放大 $c$ 后余体积只乘 $c$，除非 $k=1$，便说明把线性尺度和 $k$ 维体积混在了一起。