对偶格

对偶格收集所有在原格上具有整数周期的线性频率。对 $y\in {\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$，字符 $x\mapsto e^{2\pi i⟨y,x⟩}$ 在平移 $x\mapsto x+\lambda$ 下不变；因此原格越稀，允许的频率刻度越密，余体积恰好互为倒数。

基向量 $b_i^{\ast }$ 的作用类似坐标读出器：$⟨b_i^{\ast },b_j⟩={\delta }_{ij}$。给定 $x=Bz$，与 $b_i^{\ast }$ 配对便读出整数坐标 $z_i$。这说明对偶不是把各基向量简单取倒数；非正交基需要先逆转整个 Gram 矩阵，夹角信息不能省略。

Poisson 求和把原格上的函数求和变成对偶格上的 Fourier 变换求和。平滑参数和格上离散高斯之所以反复出现 ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$，正因为短对偶向量对应衰减最慢、最难被高斯抹平的非平凡频率。

取低秩格

条件 $⟨(a,0),(2m,0)⟩\in \mathbb{Z}$ 对所有 $m$ 成立，当且仅当 $2a\in \mathbb{Z}$，故

原格余体积为 $2$，对偶余体积为 $1/2$。若错误地允许任意 $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$，第二坐标 $b$ 完全不受约束，所得集合含连续直线而不是格；这正是 span 限制不可省的原因。

非正交例子取 $B=((1,0),(1,2))$。计算

两列分别为 $(1,-1/2)$ 与 $(0,1/2)$，都与原基列整数配对。逐列把坐标做“分量倒数”显然得不到这一答案。

最后，$\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}(2,1/2){\mathbb{Z}}^2$ 的余体积是 $1$，但 ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }=\mathrm{diag}(1/2,2){\mathbb{Z}}^2\ne \mathrm{\Lambda }$。因此“det = 1”只给体积必要条件；没有整数 Gram 配对，不能称自对偶。

对偶把包含方向反转：若 ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ 是同秩子格，则 ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }\subseteq ({\mathrm{\Lambda }}^{\prime }{)}^{\ast }$。原格增加点会给整数配对施加更多约束，所以对偶点变少。指数也保持：$[\mathrm{\Lambda }:{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }]=[({\mathrm{\Lambda }}^{\prime }{)}^{\ast }:{\mathrm{\Lambda }}^{\ast }]$。

缩放同样反向：$(c\mathrm{\Lambda }{)}^{\ast }=c^{-1}{\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$。原格长度乘 $|c|$ 时，对偶频率长度除以 $|c|$，两边余体积的乘积仍为一。这个量纲检查可迅速发现 smoothing 参数或 Fourier 公式中把 $s$ 与 $1/s$ 写反的错误。

格平滑参数公理库格平滑参数Lattice smoothing parameter · Smoothing parameter · 格的平滑参数使全部非零对偶频率的 Gaussian 质量降到给定误差预算以下的最小尺度。用 ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }\setminus \{0\}$ 上的 Gaussian 质量定义；格上离散高斯公理库格上离散 Gaussian 分布Discrete Gaussian over a lattice · Lattice Gaussian distribution · 格 Gaussian 分布以 Gaussian 质量归一化后定义在格或格陪集上的离散概率分布。的归一化、模格近均匀性与采样分析则借助 Poisson 求和。Ring-LWE 中还会用数域的迹配对及 codifferent 形成代数对偶，此时“系数向量点积”只有在选定嵌入和基后才是正确表示。