格上离散 Gaussian 分布

连续 Gaussian 给空间中每一点一个随距离平滑衰减的权重；离散 Gaussian 只保留格点，再除以所有保留权重之和。$s$ 小时质量集中在离中心最近的少数格点，$s$ 大时跨越更多格壳层，但支撑始终可数，并不会变成连续分布。

当 $s$ 高于适当的平滑参数公理库格平滑参数Lattice smoothing parameter · Smoothing parameter · 格的平滑参数使全部非零对偶频率的 Gaussian 质量降到给定误差预算以下的最小尺度。时，移动中心或观察模某个子格的分布更规律：对偶格的非零 Fourier 频率已被压低。平滑阈值服务于近均匀性和卷积论证，并不表示低于阈值时分布没有定义；任意 $s>0$ 都能正规化。

在正交直积格上，坐标权重可以分解；一般斜格上，格基坐标中的独立一维采样对应的是另一种椭圆几何。安全证明要求球形 canonical Gaussian 时，不能用“每个系数独立同分布”作为无条件替代。

对 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}$、中心零且 $s=1$，未归一化权重为

归一化常数

所以 $\text{Pr}[X=0]\approx 0.9204$，而每个 $\pm 1$ 的概率约为 $0.0398$。这不是“先采样标准正态再四舍五入”：后者按单位区间积分，零点概率约为 $0.383$，与逐点权重正规化完全不同。

同一数值也能检验“$s$ 不是标准差”。忽略极小的高阶尾项时，$s=1$ 的离散样本方差约为 $2\cdot 0.0398=0.0796$，标准差约 $0.282$；同指数核的连续 Gaussian 标准差却是 $1/\sqrt{2\pi }\approx 0.399$。把实现接口中的 sigma 直接填成 $s$ 或 $s/\sqrt{2\pi }$，都必须先确认接口生成的是哪一种分布。

若取陪集 $\mathbb{Z}+1/2$，最靠近零的 $\pm 1/2$ 权重相等，因此分布至少有两个主峰；支撑中根本没有零。若改写成 $D_{\mathbb{Z},1,1/2}$，支撑回到整数，主峰变成 $0$ 与 $1$。两者由平移对应，但样本所在集合不同，协议编码时必须保持一致。

无限支撑不等于能用有限精度直接枚举。实际采样器要证明输出与理想分布的统计距离、截尾失败概率及侧信道性质；使用浮点 exp 后再归一化的玩具实现不能自动继承理想定理。

离散 Gaussian 的尾界让格向量以高概率保持短，同时其 Fourier 自对偶结构使模格统计可分析。这种“短而不集中于单一可预测点”的组合支撑陷门原像采样、GPV 签名、LWE 误差生成及最坏情形归约。

在 Ring-LWE 中，误差常先在数域 canonical embedding 的欧氏格上定义，再映回商环表示；在 Module-LWE 中则扩展到若干嵌入坐标。若实现改用系数嵌入、舍入 Gaussian 或二项分布，就需要新的参数换算与安全论证，不能只沿用 $s$ 的同一个数值。