形式陈述

在可测空间 $(X,\Sigma)$$(X,\mathrm{\Sigma })$ 上，测度是函数 $\mu:\Sigma\to[0,\infty]$$\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$，满足 $\mu(\varnothing)=0$$\mu (\varnothing )=0$，并且对任意两两不交的 $A_1,A_2,\ldots\in\Sigma$$A_1,A_2,\dots \in \mathrm{\Sigma }$，

$$ \mu\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). $$$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n).$$

三元组 $(X,\Sigma,\mu)$$(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 称为测度空间。

直觉

测度把长度、面积、质量或计数抽象成同一种“大小”，并要求把可数多个互不重叠部分拼合时，总大小等于各部分大小之和。

例子与边界

计数测度令 $\mu(A)=|A|$$\mu (A)=|A|$（无限集取 $\infty$$\mathrm{\infty }$）；实线上的 Lebesgue 测度给区间 $[a,b]$$[a,b]$ 长度 $b-a$$b-a$。测度不必有限或归一化，概率测度只是满足 $\mu(X)=1$$\mu (X)=1$ 的特例。仅满足有限可加性的集合函数未必是测度，可数可加性是关键条件。

推论与应用

测度自动具有单调性与对可数并的次可加性（$\sigma$$\sigma$-次可加性）：若 $A\subseteq B$$A\subseteq B$，则 $\mu(A)\le\mu(B)$$\mu (A)\le \mu (B)$；对任意可测集列，

$$ \mu\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)\le\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). $$$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n).$$

若 $A_n\uparrow A$$A_n\uparrow A$，则 $\mu(A_n)\uparrow\mu(A)$$\mu (A_n)\uparrow \mu (A)$；若 $A_n\downarrow A$$A_n\downarrow A$ 且 $\mu(A_1)<\infty$$\mu (A_1)<\mathrm{\infty }$，则 $\mu(A_n)\downarrow\mu(A)$$\mu (A_n)\downarrow \mu (A)$。它是 Lebesgue 积分、概率分布、函数空间和几何测度的基础。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999, Chapter 1.
• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chapter 2.