形式陈述

Bernoulli$(p)$$(p)$ 随机变量 $X$$X$ 取 $1$$1$ 的概率为 $p$$p$、取 $0$$0$ 的概率为 $1-p$$1-p$，其中 $0\le p\le1$$0\le p\le 1$。其期望为 $p$$p$、方差为 $p(1-p)$$p(1-p)$，矩母函数为 $1-p+pe^t$$1-p+p{e}^t$。独立 Bernoulli 变量之和在参数相同时服从二项分布。

直觉

它把一次“成功或失败”实验编码成 1 与 0，是离散概率最基本的构件。

例子与边界

公平硬币正面指示变量是 Bernoulli$(1/2)$$(1/2)$。任何事件 $A$$A$ 的指示函数 $1_A$$1_A$ 都是 Bernoulli$(\Pr A)$$(\text{Pr}A)$。取值为 $\{-1,1\}$$\{-1,1\}$ 的 Rademacher 变量不是同一参数化，虽可线性转换。多个 Bernoulli 变量相同边缘概率不意味着独立。

推论与应用

Bernoulli 变量用于计数、抽样、二元分类、随机图和信道噪声建模。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Chs. 1–5。
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019，Chs. 1–8。