几何分布 | Codeboy's Blog

形式陈述

几何分布是一类离散概率分布，专门描述相互独立且成功概率相同的 Bernoulli 试验中首次成功前的等待长度；从零还是从一开始计数必须随定义固定。

本页固定采用“首次成功所在的试验编号”这一约定。令 $B_1,B_2,\ldots$ 为独立同分布的 Bernoulli $(p)$ 变量，其中 $0<p\le1$ ，并定义

X=\inf\{k\ge1:B_k=1\},\qquad\inf\varnothing=\infty.

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记作 $X\sim\operatorname{Geom}(p)$ 。因为 $\Pr(X>k)=(1-p)^k\to0$ ，它几乎必然有限；在从未成功的零概率事件上可任意改成一个正整数值而不改变分布。它的分布集中在正整数上；当 $0<p<1$ 时每个正整数都有正概率， $p=1$ 时只取 $1$ 。概率质量公式适用于整数 $k\ge1$ ，尾概率公式适用于整数 $k\ge0$ ：

\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad \Pr(X>k)=(1-p)^k.

在 $p=1$ 的端点，公式中的 $0^0$ 按空乘积取 $1$ 。

“第 $k$ 次才首次成功”要求前 $k-1$ 次都失败、第 $k$ 次成功。独立性让这些概率相乘；这里没有二项式系数，因为成功位置已固定。几何级数给出

\mathbb E X=\frac1p,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}.

它满足无记忆性：对整数 $m,n\ge0$ ，只要 $\Pr(X>m)>0$ ，就有

\Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n).

当 $p=1$ 时只能在 $m=0$ 下使用这个条件式； $m\ge1$ 时条件事件概率为零。反过来，若一个几乎必然有限的正整数值变量满足上述无记忆性，令 $q=\Pr(X>1)$ ，则递推得 $\Pr(X>k)=q^k$ 。有限性排除 $q=1$ ，所以它必是参数 $p=1-q$ 的几何分布。

直觉

事件 $X>m$ 只说明前 $m$ 次全部失败。由于下一轮试验与这些失败独立，而且成功概率仍是 $p$ ，从第 $m+1$ 次向后看，等待问题与最初完全相同。这种“失败后重置”不是说等待时间已经消失，而是说已等待的长度不会改变剩余等待时间的条件分布。尾概率每多跨过一次试验便乘上 $1-p$ ，因而呈几何衰减，“几何分布”也由此得名。

例子与边界

反复独立掷一枚公平骰子，直到首次出现六点。若 $X$ 记录总共掷了几次，则 $X\sim\operatorname{Geom}(1/6)$ ，

\Pr(X=4)=\left(\frac56\right)^3\frac16=\frac{125}{1296}\approx0.09645, \qquad \mathbb E X=6.

已连续三次未出现六点后，再等超过两次的条件概率仍是 $(5/6)^2$ ，与一开始前两次都失败的概率相同。

另一种教材约定令 $Y=X-1$ 记录首次成功前的失败次数，此时支持集从 $0$ 开始， $\mathbb E Y=(1-p)/p$ 。两种定义只差平移，却不能在同一公式里混用。

若每轮成功概率会随失败次数改变，或试验之间相关，无记忆性通常消失。例如袋中有一张成功卡、两张失败卡，不放回抽到成功为止。开始时下一次成功概率为 $1/3$ ；已失败一次后则为 $1/2$ ，两次后变为 $1$ 。这种等待受剩余卡片影响，不能用固定 $p$ 的几何模型。

$p=0$ 时首次成功几乎必然永不到来，因而不属于本页的有限值几何分布； $p=1$ 则合法地退化为 $X=1$ 。

推论与应用

几何分布是Bernoulli 试验的离散等待时间模型，与指数分布在连续时间中的角色对应。尾和公式 $\mathbb E X=\sum_{k\ge0}\Pr(X>k)$ 在这里立即给出 $1/p$ ，也展示了等待时间期望为何随成功概率成反比。在随机算法中，若每轮独立尝试至少以概率 $p$ 成功，则首次成功轮数可由几何尾界控制；这也是分析 ZPP 算法重复重启期望轮数的基本模型。拒绝采样中取得一次接受结果所需的尝试次数也会用到同一结构，但只有“每轮条件成功率保持不变”时才可直接声称服从几何分布。

参考资料

Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd ed., CRC Press, 2019，Ch. 4, geometric distribution and memorylessness。
Hossein Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes, 作者开放网络教材，§3.1.5 Special Distributions，Geometric 小节及两种计数约定，访问于 2026-10-03。

形式陈述 ​

反向链接

形式陈述