几何分布

形式陈述 ​

本页固定采用“首次成功所在的试验编号”这一约定。令 $B_1,B_2,\dots$ 为独立同分布的 Bernoulli$(p)$ 变量，其中 $0<p\le 1$，并定义

$$X=min\{k\ge 1:B_k=1\}.$$

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记作 $X\sim \mathrm{Geom}(p)$。其支持集为 $\{1,2,\dots \}$，且

$$\text{Pr}(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,\text{Pr}(X>k)=(1-p{)}^k.$$

几何级数给出

$$\mathbb{E}X=\frac{1}{p},\mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$

它满足无记忆性：对整数 $m,n\ge 0$，

$$\text{Pr}(X>m+n\mid X>m)=\text{Pr}(X>n).$$

反过来，在正整数上取值的非退化分布若具有该性质，就必为某个几何分布。

直觉 ​

事件 $X>m$ 只说明前 $m$ 次全部失败。由于下一轮试验与这些失败独立，而且成功概率仍是 $p$，从第 $m+1$ 次向后看，等待问题与最初完全相同。这种“失败后重置”不是说等待时间已经消失，而是说已等待的长度不会改变剩余等待时间的条件分布。尾概率每多跨过一次试验便乘上 $1-p$，因而呈几何衰减，“几何分布”也由此得名。

例子与边界 ​

反复独立掷一枚公平骰子，直到首次出现六点。若 $X$ 记录总共掷了几次，则 $X\sim \mathrm{Geom}(1/6)$，

$$\text{Pr}(X=4)={\left(\frac{5}{6}\right)}^3\frac{1}{6},\mathbb{E}X=6.$$

已连续三次未出现六点后，再等超过两次的条件概率仍是 $(5/6{)}^2$，与一开始前两次都失败的概率相同。

另一种教材约定令 $Y=X-1$ 记录首次成功前的失败次数，此时支持集从 $0$ 开始，$\mathbb{E}Y=(1-p)/p$。两种定义只差平移，却不能在同一公式里混用。若每轮成功概率会随失败次数改变，或试验之间相关，无记忆性通常消失。$p=0$ 时首次成功可能永不到来，因而不属于本页的有限值几何分布；$p=1$ 则合法地退化为 $X=1$。

推论与应用 ​

几何分布是Bernoulli 试验公理库Bernoulli 随机变量Bernoulli random variable只取 0 与 1 且成功概率为 p 的基本随机变量。的离散等待时间模型，与指数分布公理库指数分布Exponential distribution具有恒定失效率和连续无记忆性的非负等待时间分布。在连续时间中的角色对应。尾和公式 $\mathbb{E}X=\sum _{k\ge 0}\text{Pr}(X>k)$ 在这里立即给出 $1/p$，也展示了等待时间期望为何随成功概率成反比。在随机算法中，若每轮独立尝试至少以概率 $p$ 成功，则首次成功轮数可由几何尾界控制；这也是分析 ZPP 算法公理库复杂性类 ZPPZero-error probabilistic polynomial time · ZPP可由零错误、期望多项式时间随机算法判定的语言类。重复重启期望轮数的基本模型。拒绝采样的接受次数也会用到同一结构，但只有“每轮条件成功率保持不变”时才可直接声称服从几何分布。

参考资料

• Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd ed., CRC Press, 2019，Ch. 4, geometric distribution and memorylessness。
• John Tsitsiklis and Patrick Jaillet, MIT 18.05, Introduction to Probability and Statistics, “Geometric Distributions”。