形式陈述

设 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是概率空间，$(S,\mathcal{S})$ 是可测空间。随机变量是可测函数 $X:\mathrm{\Omega }\to S$，即

$$B\in \mathcal{S}\Rightarrow X^{-1}(B)\in \mathcal{F}.$$

实随机变量取 $S=\mathbb{R}$、$\mathcal{S}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$。其分布是推前概率测度 ${\mathbb{P}}_X(B)=\mathbb{P}(X\in B)$。

直觉

随机性来自未知样本点 $\omega$；一旦 $\omega$ 给定，$X(\omega )$ 是确定的。可测性保证关于输出的可测问题能拉回为样本空间中的合法事件。

例子与边界

掷公平骰子时可令 $X(\omega )=\omega$；事件 $A$ 的指示变量 ${\mathbf{1}}_A$ 只取 $0,1$。两个随机变量可以具有完全相同的分布，却是不同函数，甚至具有不同的相互依赖关系；“同分布”不等于“逐点相等”或“相互独立”。

推论与应用

随机变量把抽象事件空间转化为可计算数值，进而定义分布函数、期望、方差和条件分布。随机向量、随机过程和统计量都是同一可测映射思想的扩展。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995, Chapter 4, §20.
• Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Pearson, 2019, Chapter 4.