因果 Markov 条件 | Codeboy's Blog

形式陈述

设结构因果模型的内生变量 $V=(V_1,\ldots,V_k)$ 由一个有向无环图 $G$ 索引。以下符号使用条件独立语义。局部因果 Markov 条件要求每个节点在给定其父节点后，与其非后代中除父节点外的变量条件独立：

V_i\perp \operatorname{Nd}_G(V_i)\setminus\operatorname{Pa}_G(V_i) \mid \operatorname{Pa}_G(V_i).

全局 Markov 条件是：对任意互不相交节点集 $R,S,T$ ，若 $T$ 在 $G$ 中 d-separate $R$ 与 $S$ ，则

R\perp S\mid T

在观测分布 $P(V)$ 下成立。对标准 Borel 变量和相应正则条件核，递归分解写成

P(dv)=\prod_{i=1}^k K_i(dv_i\mid \operatorname{pa}_i).

若存在共同支配密度，则相应地有 $p(v)=\prod_i p(v_i\mid\operatorname{pa}_i)$ 。局部、全局与递归分解是同一 DAG Markov 结构的常用表达。因果一词额外声明图中父节点是直接原因；单凭分解只能得到统计图模型语义。

Faithfulness 不是 Markov 条件。Markov 只给出“d-separation $\Rightarrow$ 条件独立”；faithfulness 加上反向要求“条件独立 $\Rightarrow$ 某个 d-separation”，排除参数抵消产生的额外独立。

Markov 条件是模型限制，不是因果 estimand。目标可以是 $P(Y\mid do(A=a))$ ；图结构与额外准则可能把它 identification 为观测分布泛函；用样本检验条件独立或拟合各条件核才是 estimation。观测分布满足所有可检验独立，也不能单独证明箭头具有因果语义。

直觉

递归系统中，一个变量的父节点概括了它从更早系统接收的直接输入。父节点固定后，其他非后代若仍能预测该变量，就表示图遗漏了一条直接路径或一个共同原因。独立外生扰动的模块化方程正好使这类剩余信息消失。

d-separation 把这一局部思想沿路径传播。链和叉形路径在给定中间节点后被阻断；碰撞路径通常关闭，反而会在给定碰撞点或其后代后打开。它是对概率独立约束的图算法，不是仅凭箭头方向判断时间先后。

例子与边界

考虑叉形图 $L\to A$ 、 $L\to Y$ 。令 $L\sim\operatorname{Bernoulli}(1/2)$ ，

A=L\oplus U_A,\qquad Y=L\oplus U_Y,

其中 $U_A,U_Y$ 独立且均为 $\operatorname{Bernoulli}(0.2)$ 。给定 $L$ ， $A$ 和 $Y$ 分别只受独立扰动控制，所以 $A\perp Y\mid L$ ，与图上 $L$ 阻断叉形路径一致。

不条件于 $L$ 时，

P(A=1,Y=1)=\tfrac12(0.2^2)+\tfrac12(0.8^2)=0.34,

而 $P(A=1)P(Y=1)=0.5^2=0.25$ ；二者相关。这个计算说明 Markov 条件没有宣称所有未直接相连节点边缘独立。

Faithfulness 可在 Markov 成立时失败。在线性模型 $M=A+U_M$ 、 $Y=M-A+U_Y$ 中，图含 $A\to M\to Y$ 与 $A\to Y$ 。代入得 $Y=U_M+U_Y$ ，若扰动独立则 $A\perp Y$ ；两条路径的效应恰好抵消，但图上 $A$ 与 $Y$ 并未 d-separate。分布仍满足图所要求的独立，故 Markov 成立；额外独立使 faithfulness 失败。依赖 faithfulness 的结构学习算法可能因此删错边。

潜在共同原因也是边界。若 $U_A$ 与 $U_Y$ 相关而图只画 $A\to Y$ 或完全无边，局部 Markov 声明可能错误。可在潜变量图中加入共同原因，或用含双向边的潜投影；把相关外生噪声默默留在方程里又按简单 DAG 读独立，会产生不一致语义。

选择偏差会改变分布。总体中 $A\perp Y$ 若二者共同导致入样指标 $S$ ，条件于 $S=1$ 后碰撞路径 $A\to S\leftarrow Y$ 打开；在选择样本分布中观察到相关并不反驳总体 DAG 的 Markov 条件，分析对象已换成条件分布。

推论与应用

因果 Markov 条件把缺边转成可核对的概率约束，并使 backdoor 路径、调整集和 do-calculus 能由图推导。它本身不识别图方向： $A\to B$ 与 $A\leftarrow B$ 在两个节点上允许同样的观测分布。方向还需时间顺序、干预、结构知识或额外假设。

因果发现常同时使用 Markov、faithfulness 与充分测量等条件：先从条件独立恢复 Markov 等价类，再借外部信息定向。把算法输出的一个 DAG 当作已证明的机制，会把额外假设隐藏起来。用于效应识别时，应先说明图代表哪个总体与选择机制，再按 d-separation 检查路径。

参考资料

Judea Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009，§§1.2–1.4。
Peter Spirtes, Clark Glymour, and Richard Scheines, Causation, Prediction, and Search, 2nd ed., MIT Press, 2000，§§3.2–3.4。
Steffen L. Lauritzen, Graphical Models, Oxford University Press, 1996，Ch. 3。

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